30 de outubro de 2014

Beleza

Hai pouco recordaba que, segundo William Thurston, «un concepto matemático podería ser unha ecuación simbólica, unha imaxe, un patrón rítmico, unha película curta ou, mellor aínda, a combinación nun todo de varias representacións diferentes». E curiosamente, apenas publicada a entrada, alguén que a lera sinaloume un fermoso vídeo que resume en algo máis dun minuto esa idea. Quen mo mostrou non ten formación matemática, como tampouco creo que a teñan os seus autores, pero iso non impide que poidan apreciar e mostrar a beleza das matemáticas sen preguntar para que serven. Porque as matemáticas -as boas matemáticas que diría Thurston- están feitas da mesma materia dos nosos sonos, á nosa imaxe e semellanza. Nada hai da imaxe que adoitan mostrar películas e novelas do traballo matemático [1], amparadas moitas veces polo empeño dalgúns matemáticos en favorecer esa imaxe, na mirada atenta e perseverante de Thurston, chea de claridade e serenidade. Tampouco a hai neste breve "Beauty of Mathematics" dirixido por Yann Pineill e Nicolas Lefaucheux. Góceno.

http://parachutes.tv/pages/beauty.php


 [1] «Moitas veces, cando se mostran as matemáticas nunha novela ou unha película, acórdome da proverbial arma de Chéjov: se hai un matemático, seguro que se volve tolo. A penumbra da ansiedade matemática envolvendo densamente todo» di Manil Suri no artigo "How to Fall in Love With Math" publicado no The New York Times o 15 de setembro de 2013.



 

18 de outubro de 2014

To fly where before we walked


Creo que ensinar a resolver problemas a nenos ou mozos non consiste en resolver os mesmos problemas unha e outra vez, dándolles corda para que cheguen onde queremos ou invocando unha pretendida ciencia infusa inexistente. Non hai moito asistía a unha charla sobre didáctica das matemáticas en educación infantil na que, a pesar de certo aire "problem-solving" á moda, se explicaba a reacción de nenos de catro ou cinco anos ao descubrir patróns numéricos por primeira vez. O xogo e o interese que mostraban os presentes na charla fixéronme recordar dúas frases de William Thurston:

Xeralmente os matemáticos pensan que saben o que son as matemáticas, pero resúltalles difícil dar unha boa definición directa. É interesante intentalo. Para min, "a teoría dos patróns formais" sería a máis aproximada. [1]

En matemáticas, saber que é fascinante, desconcertante, interesante, sorprendente, aburrido, tedioso, emocionante é crucial; non é accidental, senón que conforma o noso xeito de pensar. [2]

Pero aínda que curiosamente ambos os dous textos están destinados a matemáticos profesionais, iso non significa que haxa que ter unha formación académica en matemáticas para compartir a visión de Thurston. A mellor profesora de matemáticas do meu fillo durante o seu paso por primaria non tiña formación en matemáticas, senón en historia.

Outro texto de Thurston, ben distinto resposta a un mozo matemático que lle preguntaba no blog MathOverflow en que podería contribuír ao progreso das matemáticas explica ese aparente paradoxo [3]:

Non son as matemáticas ao que tes que contribuír. É máis profundo que iso: como poderías contribuír á humanidade, ou máis ben ao benestar do mundo dedicándote ás matemáticas? Non é posible responder esa pregunta de xeito puramente intelectual porque as consecuencias das nosas accións van máis alá da nosa comprensión. Somos animais profundamente sociais e profundamente instintivos, polo que o noso benestar depende de moitas cousas que son difíciles de explicar de xeito intelectual. Por iso fas ben en seguir o teu corazón e a túa paixón. Usando só a razón é probable que te equivoques. Ningún de nós é o suficientemente intelixente e sabio para entendelo intelectualmente.

As matemáticas achegan claridade e compresión. Non teoremas por si mesmos. Por exemplo, ¿hai algunha razón pola que mesmo resultados famosos como o último teorema de Fermat ou a conxectura de Poincaré importen realmente? A súa verdadeira importancia non reside nos seus enunciados concretos, senón no desafío que supoñen para o noso entendemento, propoñendo retos que conducen a desenvolvementos matemáticos que aumentan a nosa comprensión.

O mundo non sofre de demasiada claridade e comprensión (por dicilo suavemente). Xeralmente é imposible saber se unhas matemáticas específicas poden mellorar o mundo (polo que sexa) e como poden facelo, pero as matemáticas son en conxunto extremadamente importantes.

Creo que, pola súa dependencia da mente humana, hai unha gran compoñente psicolóxica nas matemáticas. Deshumanizadas, serían como programas de ordenador, algo moi diferente. Moitas veces, as ideas matemáticas, mesmo as máis simples, pasan dificilmente dunha mente a outra. Hai moitas ideas que poden ser difíciles de alcanzar, pero que resultan doadas unha vez que se logra. Por isto, a comprensión matemática non progresa sempre na mesma dirección. A nosa comprensión tamén se deteriora con frecuencia. Hai varias razóns evidentes desa decadencia. Os expertos nun tema xubílanse e morren, ou simplemente cambian de temas e esquécense. Habitualmente as matemáticas explícanse e rexístranse usando formas concretas e simbólicas que son máis doadas de comunicar que as formas conceptuais, que son doadas de entender unha vez comunicadas. A tradución do conceptual ao concreto e simbólico é moito máis doada que a tradución en sentido inverso, e as formas simbólicas a miúdo substitúen ás formas conceptuais de comprensión. Os textos antigos poden ser difíciles de entender a causa das convencións e do que se dá por sentado na evolución do coñecemento.

En resumo, as matemáticas só existen nunha comunidade de matemáticos que divulgue o coñecemento e insufle vida a ideas antigas e novas. A verdadeira satisfacción que dan as matemáticas é aprender doutros e compartir con outros. Cada un de nós comprende con claridade unhas poucas cousas, pero ten unha visión confusa doutras moitas. Nunca nos faltarán ideas que necesiten ser aclaradas. A cuestión de quen foi o primeiro en deixar pegada nun metro cadrado de terreo é secundario. Os cambios revolucionarios son importantes, pero escasos, e non se producen sós: dependen moi moito da comunidade de matemáticos.

Quen di isto é un dos matemáticos máis importantes do século XX cunha obra que transformou a comprensión das variedades foliadas e das variedades tridimensionais e que lle valeu entre outros premios a Medalla Fields 1982. Así se definía a si mesmo no blog que citei antes [4]:

Son profesor en Cornell. Antes estiven en Princeton, Berkeley, MSRI e UC Davis. As matemáticas son un proceso onde hai que lograr a maior claridade mirando con suficiente atención e perseveranza a través dunha néboa de desorde e confusión. Alégrame poder admitir, polo menos ante min mesmo, que o meu pensamento é confuso e intentar superar a vergoña que podería causarme a miña propia ignorancia ou confusión. Cos anos, isto axudoume a desenvolver con claridade algunhas cousas, pero séguenme parecendo confusas outras moitas. Gozo coas preguntas que parecen honestas, aínda cando admitan ou revelen confusión, mellor que aquelas que parecen deseñadas para sofisticados proxectos

Tras a súa morte hai dous anos, o Departamento de Matemáticas de Cornell reuniu nunha páxina de homenaxe unha serie de textos –incluíndo extractos dos que acabo de citar– que nos recordan a William Thurston a través das súas propias palabras. Entresaco un que me parece igualmente revelador [5]:

Moitas persoas teñen a impresión de que as matemáticas son un asunto austero e formal relacionado con regras complicadas e finalmente confusas para a manipulación de números, símbolos e ecuacións, algo así como a preparación dunha complicada declaración da renda. As boas matemáticas difiren bastante disto. As matemáticas son unha arte da comprensión humana. [...] Os nosos cerebros son dispositivos complicados, con moitos módulos especializados traballando entre bastidores para darnos unha comprensión integral do mundo. Os conceptos matemáticos son abstractos, o que determina que haxa moitas maneiras diferentes de que se asenten nos nosos cerebros. Un concepto matemático podería ser unha ecuación simbólica, unha imaxe, un patrón rítmico, unha película curta ou, mellor aínda, a combinación nun todo de varias representacións diferentes.

Pero quizais quede cun texto que resume nunha frase a paixón de Thurston polas matemáticas [6]:

Os obxectivos estéticos e os obxectivos prácticos das matemáticas resultan estar, ao final, bastante preto. Os nosos instintos estéticos achégannos a matemáticas de certa profundidade que enganchan. A profundidade e a beleza dos patróns fainos propensos a manifestarse de xeito inesperado noutras partes das matemáticas, a ciencia e o mundo. Compartir a alegría e a experiencia intelectual das matemáticas -voar onde antes camiñabamos- é o obxectivo da educación matemática.

William Thurston (30 de outubro de 1946 - 21 de agosto de 2012)

[1] On proof and progress in mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 30 (1994), 161–177


[4] MathOverflow "About me".


[6] Mathematical Education, Notices of the AMS, 37 (7) (1990), 844–850.

4 de outubro de 2014

Manifesto dos 93

Hai hoxe un século, o 4 de outubro de 1914, un grupo de 93 intelectuais alemáns facía público un manifesto, coñecido como Manifesto dos 93, negando as atrocidades cometidas polo exército alemán durante a invasión de Bélxica no verán de 1914.

Moitos dos seus asinantes foron esquecidos. É o caso de Philipp Lenard e Wilhelm Wien, Premios Nobel de Física en 1905 e 1911, heraldos da supremacía alemá na guerra de ideas paralela á guerra real. Pero a presenza de figuras como Felix Klein e Max Planck mostra a profundidade do mal, un mal que se revelará sen disimulos anos máis tarde en movementos como Deutsche Mathematik e Deutsche Physik e que custará millóns de vidas en Europa.

 
Ao mundo civilizado.

Como representantes da ciencia e da arte alemá, os abaixo asinantes protestamos solemnemente ante o mundo civilizado polas mentiras e calumnias con que os nosos inimigos intentan ensuciar a xusta e nobre causa de Alemaña na dura loita que nos impuxeron e que ameaza nada menos que a nosa existencia. A marcha dos acontecementos tense encargado de refutar a mentireira propaganda que non anunciaba senón derrotas alemás, aínda que agora se empregan con moito máis ardor para falsear a verdade e facernos odiosos. Contra isto protestamos levantando a nosa voz, que é a voz da verdade.

Non é verdade que Alemaña provocase esta guerra. Nin o Pobo, nin o Goberno, nin o Emperador alemán a quixeron. Ata o último momento, ata o imposible, Alemaña loitou por manter a paz. O mundo enteiro pode xulgar as probas que proporcionan os documentos auténticos. En innumerables ocasións ao longo dos vinte e seis anos do seu reinado, Guillerme II defendeu a paz, feito que mesmo os nosos inimigos recoñeceron. Esquecen que este Emperador, ao que se atreven a comparar con Atila, foi obxecto das súas burlas a causa dese amor inquebrantable pola paz. Ameazado e despois atacado a traizón por tres grandes potencias, o noso pobo levantouse como un só home.

Non é verdade que vulnerasemos de xeito criminal a neutralidade de Bélxica. Temos a proba irrefutable de que Francia e Inglaterra decidiran vulnerar esa neutralidade coa conivencia de Bélxica. Tería sido un suicidio por parte da nosa patria non se adiantar a iso.

Non é verdade que os nosos soldados atentasen contra a vida e os bens dun só cidadán belga sen verse forzados a iso en lexitima defensa, porque unha e outra vez, a pesar das advertencias, a poboación disparou a traizón sobre as nosas tropas, mutilou feridos e asasinou médicos que exercían a súa humanitaria profesión. Non hai infamia maior que ocultar as atrocidades destes asasinos e acusar dun crime aos alemáns polos castigos que se viron obrigados a inflixir a estes bandidos.

Non é verdade que as nosas tropas destruísen Lovaina brutalmente. Asaltadas as súas posicións por unha poboación furiosa, ao seu pesar, as nosas tropas tiveron que tomar represalias e bombardear unha parte da cidade. A maior parte de Lovaina mantense intacta. A famosa Casa do Concello quedou intacta porque, a risco da súa vida, os nosos soldados  protexérona das chamas. Por suposto, todos os alemáns lamentarían a destrución presente ou futura de obras de arte no curso desta terrible guerra. Pero, malia o noso grande amor pola arte, que non pode ser superado por ningunha outra nación, debemos rexeitar decididamente que o custo de salvar unha obra de arte supoña unha derrota dos nosos exércitos.

Non é verdade que fagamos a guerra sen respectar as leis internacionais. Os nosos soldados non cometen nin actos de indisciplina, nin crueldades. Non obstante, ao Leste da nosa patria, a terra empápase co sangue das mulleres e dos nenos masacrados sen piedade polas salvaxes tropas rusas, e no Oeste, as balas explosivas dos nosos adversarios destrúen os peitos dos nosos soldados. Os que se aliaron con rusos e serbios e non temen alentar a mongois e negros contra a raza branca, ofrecendo así ao mundo civilizado o espectáculo máis vergonzoso que se poida imaxinar, non teñen ningún dereito a chamarse a si mesmos defensores da civilización europea.

Non é verdade que a loita contra o chamado militarismo alemán non sexa tamén unha loita contra a nosa cultura, como pretenden os nosos hipócritas inimigos. Se non fose polo noso militarismo, a nosa civilización tería sido aniquilada hai tempo. Foi para protexela polo que xurdiu este militarismo no noso país, exposto como ningún outro a continuas invasións ao longo dos séculos. O Exército alemán e o Pobo alemán non son senón un e este sentimento une fraternalmente a 70 millóns de alemáns sen distinción de cultura, clase ou partido.

A mentira é a arma envelenada que non podemos arrancar das mans dos nosos inimigos. O único que podemos facer é declarar, levantando a voz ante o mundo enteiro, que os nosos inimigos dan falso testemuño contra nós. A quen nos coñece e foron, como nós, gardiáns dos bens máis prezados da humanidade, dicímoslles:

Créannos! Saiban que chegaremos ata o final desta loita como nación civilizada, como pobo para o que o legado de Goethe, Beethoven e Kant é tan sagrado como a súa terra e o seu fogar.

 Respondemos diso co noso nome e a nosa honra:
  1. Adolf von Baeyer, Premio Nobel de Química 1905.
  2. Peter Behrens, arquitecto e deseñador.
  3. Emil von Behring, Premio Nobel de Medicina 1901.
  4. Wilhelm von Bode, historiador da arte.
  5. Aloïs Brandl, filologo austríaco.
  6. Lujo Brentano, economista e reformador social.
  7. Justus Brinckmann, director de museo
  8. Johannes Conrad, economista
  9. Franz von Defregger, pintor austríaco.
  10. Richard Dehmel, escritor e poeta.
  11. Adolf Deissmann, teólogo protestante.
  12. Wilhelm Dörpfeld, arqueólogo.
  13. Friedrich von Duhn, profesor de arqueoloxía clásica
  14. Paul Ehrlich, Premio Nobel de Medicina 1908.
  15. Albert Ehrhard, teólogo católico e erudito alsaciano.
  16. Karl Engler, profesor de química.
  17. Gerhart Esser, teólogo católico.
  18. Rudolf Eucken, filósofo e Premio Nobel de Literatura 1908.
  19. Herbert Eulenberg, escritor.
  20. Heinrich Finke, historiador.
  21. Emil Fischer, Premio Nobel de Química 1902.
  22. Wilhelm Foerster, astrónomo.
  23. Ludwig Fulda, dramaturgo e tradutor.
  24. Eduard von Gebhardt, pintor e profesor de pintura.
  25. Jan Jakob de Groot, profesor de etnografía.
  26. Fritz Haber, Premio Nobel de Química 1918.
  27. Ernst Haeckel, biólogo, filósofo e pensador.
  28. Max Halbe.
  29. Adolf von Harnack, teólogo protestante e director da Biblioteca Imperial.
  30. Gerhart Hauptmann, dramaturgo e Premio Nobel de Literatura 1912.
  31. Karl Hauptmann, dramaturgo.
  32. Gustav Hellmann, profesor de meteoroloxía.
  33. Wilhelm Herrmann, teólogo protestante.
  34. Andreas Heusler, profesor de filoloxía nórdica.
  35. Adolf von Hildebrand, escultor.
  36. Ludwig Hoffmann, urbanista.
  37. Engelbert Humperdinck, compositor.
  38. Leopold Graf Kalckreuth, presidente da Liga de Artistas Alemáns.
  39. Arthur Kampf.
  40. Friedrich August von Kaulbach, pintor.
  41. Theodor Kipp, profesor de xurisprudencia.
  42. Felix Klein, matemático.
  43. Max Klinger, artista.
  44. Aloïs Knoepfler, profesor de historia do cristianismo.
  45. Anton Koch, teólogo católico.
  46. Paul Laband, profesor de xurisprudencia.
  47. Karl Lamprecht, historiador.
  48. Philipp Lenard, Premio Nobel de Física 1905.
  49. Maximilian Lenz, profesor de historia.
  50. Max Liebermann, pintor.
  51. Franz von Liszt, profesor de xurisprudencia.
  52. Ludwig Manzel, escultor.
  53. Joseph Mausbach, teólogo católico.
  54. Georg von Mayr, profesor de ciencias políticas.
  55. Sebastian Merkle, teólogo católico.
  56. Eduard Meyer, historiador e arqueólogo.
  57. Heinrich Morf, profesor de filoloxía románica.
  58. Friedrich Naumann, pastor protestante e político.
  59. Albert Neisser, profesor de medicina.
  60. Walter Nernst, físico e químico, Premio Nobel de Química 1920.
  61. Wilhelm Ostwald, Premio Nobel de Química 1909.
  62. Bruno Paul, arquitecto e debuxante.
  63. Max Planck, Premio Nobel de Física 1918.
  64. Albert Plehn, profesor de medicina.
  65. Georg Reicke.
  66. Max Reinhardt, director de escena austríaco.
  67. Alois Riehl, profesor de filosofía.
  68. Karl Robert, profesor de arqueoloxía.
  69. Wilhelm Röntgen, Premio Nobel de Física 1901.
  70. Max Rubner, profesor de medicina.
  71. Fritz Schaper, escultor.
  72. Adolf von Schlatter, teólogo protestante.
  73. August Schmidlin, profesor de historia do cristianismo.
  74. Gustav von Schmoller, economista.
  75. Reinhold Seeberg, teólogo protestante.
  76. Martin Spahn, historiador e político.
  77. Franz von Stuck, artista.
  78. Hermann Sudermann, escritor e dramaturgo.
  79. Hans Thoma, pintor.
  80. Wilhelm Trübner, pintor.
  81. Karl Vollmöller.
  82. Richard Voss, escritor.
  83. Karl Vossler, profesor de filoloxía románica.
  84. Siegfried Wagner, compositor e director de orquestra.
  85. Wilhelm Waldeyer, profesor de anatomía.
  86. August von Wassermann, profesor de medicina.
  87. Felix von Weingartner, compositor e director de orquestra austríaco.
  88. Theodor Wiegand, arqueólogo.
  89. Wilhelm Wien, Premio Nobel de Física 1911.
  90. Ulrich von Wilamowitz-Moellendorff, filólogo alemán.
  91. Richard Willstätter, Premio Nobel de Química 1915.
  92. Wilhelm Windelband, filósofo e historiador.
  93. Wilhelm Wundt, psicólogo e filósofo.

Pero houbo os que conservaron a súa honra ao prezo do ostracismo como David Hilbert ou Ernst Zermelo, o exilio como Max Born, Max Dehn, Albert Einstein, Lise Meitner, Erwin Schrödinger ou Hermann Weyl, ou a morte como Felix Hausdorff, Georg Pick, Moritz Schlick ou Alfred Tauber.

A futura memoria


Matemáticos e físicos exiliados de Alemaña a partir de 1933
Emil Artin
Rafael Artzy
Reinhold Baer
Valentine Bargmann
Guido Beck
Felix Behrend
Paul Bernays
Felix Bernstein
Lipman Bers
Hans Bethe
Salomon Bochner
Max Born
Alfred Brauer
Richard Brauer
Robert Breusch
Herbert Busemann
Arthur Cohn
Stefan Cohn-Vossen
Richard Courant
Max Dehn
Max Delbrück
Albert Einstein
Felix Ehrenhaft
Paul Ërdos
Paul Peter Ewald
William Feller
Werner Fenchel
Adolf Fraenkel
James Franck
Kurt Friedrichs
Otto Frisch
Herbert Fröhlich
Robert Frucht
Dennis Gabor
Gilda Geiringer
Kurt Gödel
Michael Golomb
Emil Julius Gumbel
Hans Hamburger
Herman Otto Hartley
Wilhelm Hauser
Hans Heilbronn
Walter Heitler
Isidor Heller
Ernst Hellinger
Eduard Helly
Grete Hermann
Gustav Hertz
Gerhard Herzberg
Fritz Herzog
Heinz Hopf
Ludwig Hopf
Kurt Hirsch
Ernst Jacobsthal
Fritz John
Ilse Karger-Brauer
Bernard Katz
Nicholas Kemmer
Herman Kober
Arthur Korn
Nicholas Kurti
Rudolf Ladenburg
Edmund Landau
Emanuel Lasker
Walter Ledermann
Friedrich Levi
Victor Lewin
Hans Lewy
Leon Lichtenstein
Fritz London
Karl Löwner
Rudolf Lüneburg
Eugene Lukacs
Kurt Mahler
Walter Mayer
Lise Meitner
Kurt Mendelssohn
Karl Menger
Richard von Mises
Paul Nemenyi
Otto Neugebauer
Albert Neuhaus
Bernhard Neumann
John von Neumann
Emmy Noether
Fritz Noether
Rudolf Peierls
Rose Peltesohn
Felix Pollaczek
George Pólya
Alfred Pringsheim
Hans Rademacher
Richard Rado
Hans Reichenbach
Helene Reschovsky
Werner Rogosinski
Werner Romberg
Arthur Rosenthal
Fritz Rothberger
Erich Hans Rothe
Hildegard Rothe-Ille
Hans Samelson
Peter Scherk
Max Schiffer
Otto Schilling
Erwin Schrödinger
Issai Schur
Carl Ludwig Siegel
Käte Sperling-Fenchel
Otto Stern
Wolfgang Sternberg
Otto Szász
Gábor Szegő
Leó Szilárd
Olga Taussky-Todd
Edward Teller
Feodor Theilheimer
Bernhard Teitler
Peter Thullen
Otto Toeplitz
István Vajda
Abraham Wald
Stefan E. Warschawski
Alexander Weinstein
Victor Weisskopf
Hermann Weyl
Eugene Wigner
Grete Winter-Leibowitz
Max Zorn
.

Matemáticos asasinados ou forzados ao suicidio a partir de 1933
Ludwig Berwald, morto no gueto de Łódź en 1942. 
Otto Blumentahl, morto no gueto de Theresienstadt en 1944. 
Ludwig Eckhart, suicidio en Viena en 1938. 
Paul Epstein, suicidio en Dornbusch en 1939. 
Walter Fröhlich, morto no gueto de Łódź en 1942. 
Kurt Grelling, deportado ao campo de exterminio de Auschwitz en 1942. 
Friedrich Hartogs, suicidio en Munich en 1943. 
Felix Hausdorff, suicidio en Bonn en 1942. 
Margarete Kahn, deportada ao gueto de Piaski en 1942. 
Nelly Neumann, deportada en 1941 e asasinada en Minsk en 1942. 
Georg Alexander Pick, morto no gueto de Theresienstadt en 1942. 
Robert Remak, deportado ao campo de exterminio de Auschwitz en 1942. 
Moritz Schlick, asasinado en 1936 en Viena. 
Reinhold Strassmann, deportado a Theresienstadt en 1943 e morto en Auschwitz en 1944. 
Alfred Tauber, deportado ao gueto de Theresienstadt en 1942.

N.B.: A tradución do manifesto correspóndese coa versión francesa publicada en Wikipedia, similar agás pequeños detalles á versión incluída no traballo de Marie-Éve Chagnon, Le Manifeste des 93 : La nature de la mobilisation intellectuelle allemande au déclenchement de la grande guerre (1914-1915), na Universidade de Québec en Montreal. As listas de vítimas do nazismo limítanse a nomes documentados a través da rede, pero todos aqueles que non se mencionan merecen igualmente o tributo da nosa memoria.