9 de novembro de 2015

Eladio Dieste, a forma e a materia

Descubrín ao enxeñeiro uruguaio Eladio Dieste a través da correspondencia co seu tío, o escritor galego Rafael Dieste, hai algúns anos [1]. Ao igual que nas cartas entre Rafael Dieste e Isaac Díaz Pardo, ademais de humor e intelixencia hai un interese sorprendente pola xeometría ―a forma como parte esencial do mundo, do seu «orden profundo»―. Pero ambos comparten ademais unha certa visión do mundo ―e da xeometría― como lembra Eladio Dieste nun texto de homenaxe ao seu tío [2] cando di que «nosotros creemos que nuestra relación con el mundo […] se parece más al acto de "ver" que a la creación de una suerte de contabilidad universal del conocimiento». Aínda lembro a sorpresa que me produciron as primeiras imaxes que puiden ver da súa obra na edición dixital dunha revista norteamericana ao fío da homenaxe que lle ofreceron MOMAMIT e Princeton University en 2005.









Hai un par de semanas visitaba unha das súas primeiras obras, a igrexa de Atlántida, un modesto encargo preto da estación balnearia de Atlántida (Uruguai), que non estaba destinado aos visitantes, senón aos habitantes do lugar. De feito, en 1952, o enxeñeiro Dieste recibira o encargo de construír un «galpón» que puidese ser usado como igrexa. Entre 1958 e 1960, cun custo «igual al de un galpón», Dieste fai uso dun rigor científico e técnico excepcional para lograr cunha economía de medios sorprendente unha obra dunha incrible lixeireza e plasticidade.




Dieste constrúe unha nave rectangular flanqueada por unha sucesión de conoides de directriz recta na base e ondulada na parte superior (figura 1). A cuberta apóiase sobre o paramento ao longo desa curva ondulada horizontal (figura 2). En realidade, a ondulación dos muros laterais está determinada pola propia ondulación da cuberta, o que outorga ao conxunto un inusual aspecto de mobilidade (figura 3). O deseño da cuberta é un exemplo maxistral de equilibrio entre visión xeométrica, rigor físico-matemático e destreza construtiva onde Dieste combina a súa primeira proposta de bóveda gausa coa creación da técnica da cerámica armada que o fará famoso máis tarde.

Figura 1
Figura 2
Figura 3

Dieste propón o uso dunha catenaria invertida como directriz anterior da bóveda, algo visible tanto no esbozo xeral, como na imaxe da fachada, o que minimiza as tensións e reduce o esforzo á compresión polo peso propio [3]. Isto permitiralle reducir o espesor da lámina e aumentar a luz a cubrir. A diferenza das cubertas autoportantes que construirá máis tarde, con directriz catenaria e xeratriz recta [4], Dieste resolve o problema da flexión ondulando a cuberta na dirección lonxitudinal. Se se despraza a catenaria facendo variar a frecha, pero os puntos de arranque se manteñen en dúas rectas paralelas, a lonxitude da catenaria aumentará coa frecha. A miúdo Dieste interromperá a onda lonxitudinal para aloxar lucernarios verticais [5]. Se se fai variar a amplitude da catenaria, pero non se altera a súa curvatura, está claro que as sucesivas catenarias deben apoiarse en dúas curvas onduladas horizontais e simétricas respecto do eixe central da nave [6]. Con todo, na igrexa de Atlántida, Dieste usa unha variante máis complexa na que a curvatura aumenta coa luz (figura 3).


Pero Dieste non se contenta con usar a xeometría laminar máis adecuada para alixeirar a construción. Ao contrario, a partir da súa experiencia no deseño de láminas de formigón armado, Dieste idea un novo tipo de estrutura na que bastaría a combinación da rixidez que achega a forma da cuberta coa rixidez dunhas dovelas ben talladas para facer actuar á lámina como unha unidade. Como os ladrillos non son dovelas, Dieste usa armaduras lixeiras de ferro para lograr esa unidade estrutural. Ademais aproveita que os ladrillos absorben rapidamente a humidade do morteiro para acelerar as operacións de cimbrado e descimbrado por medio de encofrados móbiles. É o método da cerámica estrutural ou cerámica armada que achega rapidez e economía á construción. 

Dinos Dieste que «no podemos, pues, posponer para la ciudad futura la belleza y la dignidad que tanto necesitamos para resistir el rigor de la vida» e coa súa obra ensínanos que a forma e a materia son a sustancia desa beleza necesitada.


Grazas a Matilde, Mauricio e Richard por todo.


[1] O novelesco, unha constante na vida e na obra de Rafael Dieste, parece consubstancial á historia dos Dieste e axuda a entender que Rafael Dieste nacese en Rianxo en 1899 e o seu sobriño Eladio Dieste en Artigas (Uruguai) en 1917. Ignoro se hai traza escrita da chegada do pai de Rafael, Eladio Dieste e Muriel, á costa atlántica uruguaia cara a 1870. Aínda que quizais haxa outro modo de resolver o paradoxo, pois ao dicir de Rafael Dieste: «Visto desde Galicia el Mundo es eucarístico, es decir, sin partes. Y así no ha de extrañar que para quien ha visto allí la luz del mundo, Galicia misma tenga confines indeterminados, se dilate sin término en el espacio y en el tiempo y, en resumidas cuentas, sea ella misma el Mundo». 

[2] Eladio Dieste, Sobre las investigaciones geométricas de Rafael Dieste, en Rafael Dieste. La creación como el puro amanecer constante de la palabra. Documentos A, 1 (1991), pp. 133-138.

[3]  A ecuación da catenaria invertida escríbese
$$y = k \big( cosh(\frac{a}{2k}) - cosh(\frac{x}{k}) \big)$$  onde \(a\) é a amplitude descrita na figura 4. Chámase frecha ao valor 
$$h = k \big( cosh(\frac{a}{2k}) - 1 \big)$$ que toma \(y\) cando \(x=0\).
 
Figura 4
A lonxitude da catenaria ven dada por  $$l = 2 \, k \, senh(\frac{a}{2k}).$$ As súas propiedades físicas poden verse nun curso interactivo da UPV-EHU ou na versión inglesa da Wikipedia

[4] Dieste usa este tipo de cuberta na Casa Dieste (1961 -1963). 

[5] Así pode verse na Fabrica TEM S.A. de Montevideo (1960-1962), no Mercado Central de Porto Alegre (1969-1972) ou no Depósito Julio Herrera y Obes (1977-79) tamén no porto de Montevideo.

[6] Esta solución pode verse no silo horizontal da Cooperativa Agrícola de Young Limitada (CADYL) construído en Young (Uruguai) en 1978 e no posterior construído en Nova Palmira (Uruguai) entre 1982 e 1987.


Licencia de Creative Commons Eladio Dieste, a forma e a materia by Fernando Alcalde is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 Internacional License.

30 de abril de 2015

Os fíos de Ariadna

«O labirinto clásico -dinos Umberto Eco en Postille al nome della rosa- é o fío de Ariadna en si mesmo». Aínda que se refire ao labirinto cretense, o mesmo acontece co labirinto de Chartres, cuxa imaxe se superpón á dunha rosa na edición española da súa novela, ou o de Reims que aparece na edición italiana.


















Proben a imprimir as seguintes imaxes e recortar as liñas para comprobalo. 



«Logo está o labirinto manierista», di referíndose aos labirintos que adoptan o aspecto de árbores se os recortamos como antes. O fío de Ariadna desdóbrase nunha multitude de fíos. Malia as ramificacións e aínda que sexa habitual facelo, usar o termo labirintos multicursais para referirnos a este tipo de labirintos non é demasiado afortunado, xa que só hai un camiño sen idas e voltas que vaia da entrada ao centro ou do centro á saída. Por iso é preferible chamalos labirintos perfectos se pensamos nese único camiño de saída sen idas e voltas ou labirintos simplemente conexos se pensamos que podemos debuxalos sen levantar o lapis do papel. Construído a finais do século XVII, o labirinto de Hampton Court Palace ten xustamente ese carácter manierista que Eco atribúe a este tipo de labirintos.



Redes ou rizomas chama aos verdadeiros labirintos multicursais onde é posible ir dun punto a outro seguindo máis dun camiño sen idas e voltas. Aínda que o labirinto no corazón do mapa de Hereford é unicursal, o propio mapa é un labirinto deste tipo. E aínda que a historia de Eco se quere «rizomática», a biblioteca que describe na súa novela segue sendo en certo modo manierista. Se nos fixamos no plano (cuxo bosquexo orixinal pode verse nun artigo de Vanessa Werder na revista Digital Architectural Papers), hai varios percorridos (ACAIA, ANGLIA, GALLIA e XERMANIA) que conteñen ciclos.




Pero abonda conectar doutro modo unhas salas con outras para lograr construír un verdadeiro labirinto «manierista» coa mesma planta.


Non acontece o mesmo coa biblioteca imaxinada para o filme de Jean-Jacques Annaud, certamente multicursal, pero que debe máis a Borges e Escher que ao propio Eco.  Agora ben, a labiríntica biblioteca de Il nome della rosa baséase -os debuxos previos de Eco non deixan lugar a dúbida- nun pazo «rizomático» construído case ao mesmo tempo que o labirinto de Chartres. É o Castel del Monteordenado edificar na rexión de Apulia polo emperador Federico II entre 1240 e 1250, quizais para facer honra ao seu dobre alcume de «stupor mundi» e «puer Apuliae». Confeso o meu estupor ao contemplar por primeira vez os planos do edificio e a súa silueta dominando un pequeno outeiro no medio da chaira.

 Castel del Monte

O Castel do Monte representa outro tipo do labirinto, distinto aos contemplados por Eco, que poderiamos chamar labirinto tridimensional. Para saír deste labirinto, podemos usar o algoritmo de Trémaux ou de procura en profundidade que xa empregamos para ir de Compostela ao Paraíso na anterior entrada.

Sala do Trono

Partiremos da Sala do Trono e usaremos a mesma sucesión de ceros e uns, aínda que agora abondará con algo menos da metade, a saber 00110000011000010101, para encontrar a saída. Recordemos que en cada bifurcación iremos a esquerda ou dereita dependendo de que o número elixido ao azar sexa cero ou un. Se volvemos a unha encrucillada pola que xa pasamos, deberemos volver sobre os nosos pasos para cambiar de dirección na encrucillada anterior. Debuxaremos o camiño de saída sobre os planos das dúas plantas do castelo superpostos. En azul representaremos os vans que dan acceso dun recinto a outro na segunda planta, os tramos de escaleira que levan a esa mesma planta, así como a terraza que circunda o patio interior.

Plano do Castel del Monte


Como podemos ver na animación, o algoritmo de Trémaux permítenos abandonar o labirinto, pero dando un rodeo. Se o que queremos é encontrar o camiño máis curto, convén que usemos outro algoritmo, chamado de procura en anchura. Nesta ocasión, desprazarémonos en primeiro lugar a cada unha das encrucilladas máis próximas á Sala do Trono seguindo unha orde que vai de esquerda a dereita. Como non encontraremos a saída nesta primeira etapa, volveremos á primeira encrucillada e iremos ata as encrucilladas máis próximas seguindo a mesma orde. Pasaremos á segunda e repetiremos o proceso. Continuaremos así ata completar todas as posibles encrucilladas iniciais. En caso de non atopar a saída, repetiremos a nosa ruta inicial e continuaremos ata as seguintes encrucilladas e así sucesivamente con cada unha das rutas percorridas na etapa anterior. Se nalgún momento a nosa ruta se cruza con outra ruta percorrida previamente, teremos que volver outra vez sobre os nosos pasos, suprimir definitivamente a porción de ruta que acabamos de abandonar e cambiar de dirección na encrucillada precedente. Ariadna enreda os seus fíos coa certeza de sacarnos do labirinto.




   


12 de abril de 2015

O labirinto de Hereford

Thou mayst not wander in that labyrinth; There Minotaurs and ugly treasons lurk.
William Shakespeare, The First part of King Henry the Sixth

Hai labirintos borgianos que esconden labirintos no seu interior. Como hai mapas borgianos que teñen o tamaño do Imperio e coinciden puntualmente con el [1]. O mapamundi de Hereford é o un e case o outro, unha reliquia do mundo en torno ao ano 1300.

Hai labirintos dos que podemos escapar se mantemos a nosa man, esquerda ou dereita dá igual, pegada ao muro. Non sería así como Teseo puido saír da casa de Asterión?


Pero, como non podía ser doutro modo, un labirinto ocupa un lugar privilexiado preto do centro do universo de Hereford, ao modo borgiano: a un tempo, labirinto do Minotauro e camiño de peregrinación.

Os labirintos clásicos unicursais [2] adoitan denominarse cretenses en honor ao Minotauro, aínda que hai variantes noutras moitas culturas. A idea é usar un mesmo patrón a partir dun núcleo central ou semente polo que o deseño se denomina seed-pattern en inglés.
 

Pero o Cartógrafo de Hereford converterá o inferno de Teseo -ou do Minotauro se lle facemos caso a Borges- no camiño da Xerusalén celestial, case idéntico ao trazado no cruceiro da catedral de Chartres uns sesenta ou cen anos antes [3]. Non hai confusión posible nese chemin de Jérusalem que conforma a mostra máis clara dos labirintos medievais.


Labirinto da catedral de Chartres

 Labirinto do mapamundi de Hereford

No bordo inferior do mapa, non lonxe do sitio de Hereford, a inscrición Compostu' identifica a Santiago de Compostela, Templum Sancti Iacobi, tumba de “Iacomo Apostolo”. Imaxinemos que partimos do porto de  El-Padron rumbo ao Paraíso no bordo superior do mapa [4]. Xa non poderemos confiar en atravesar o labirinto como Teseo, situándonos xunto á costa, pois rematariamos inevitablemente dando voltas arredor dalgún continente ou imperio.

Aínda que encontraremos seres estraños, como blemias, esciápodos e cinocéfalos [5], ignoremos por unha vez a Shakespeare. En cada bifurcación, botemos a sortes se imos por un lado ou outro [6], pero procuremos sempre marcar a ruta seguida. Sigamos así mentres non atopemos sinal do noso paso.  En caso contrario, retrocederemos ata chegar á bifurcación anterior para cambiar de dirección. Parece que esta idea para encontrar un camiño no labirinto se debe a un enxeñeiro francés, Charles Trémaux (1859 – 1882) [7], pero será un século máis tarde cando se demostre que ese algoritmo, coñecido como algoritmo de procura en profundidade, nos conducirá con seguridade ao noso destino [8].


pilgrim

As imaxes do mapamundi de Hereford e do labirinto de Chartres proveñen de Wikimedia Commons. As restantes imaxes son propias baixo licenza Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional.
Del rigor en la ciencia

En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, estos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un Mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y los Inviernos. En los Desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el País no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas.

 
Suárez Miranda: Viajes de varones prudentes Libro Cuarto, cap. XLV, Lérida, 1658 Jorge Luis Borges El hacedor (1960)

[2] Na literatura anglosaxona é tradicional distinguir os labirintos unicursais que teñen un único camiño de saída, chamándoos labyrinths, dos labirintos multicursais con varios camiños de saída, aos que se chama mazes, aínda que en realidade o termo maze se aplica indistintamente a calquera tipo de labirinto.

[3] Hai autores que sitúan a construción do labirinto pouco despois do inicio das obras en 1194 e outros pouco antes do final en 1250. O máis razoable é pensar que foi construído nun período intermedio tras rematar a construción da nave central.

[4] As referencias a Santiago de Compostela, Padrón e o faro de Hércules proveñen do libro

AN ESSAY
IN ILLUSTRATION OF
THE HEREFORD MAPPA MUNDI
BY
THE REV. W. L. BEVAN, M.A.
VICAR OF HAY
AUTHOR OF THE ‘STUDENT'S MANUALS OF ANCIENT AND MODERN GEOGRAPHY’
THE REV. H. W. PHILLOTT, M.A.
PRÆLECTOR OF HEREFORD CATHEDRAL AND RECTOR OF STANTON-ON-WYE
LONDON
E. STANFORD, CHARING CROSS
1873

do que podemos extraer o seguinte texto:

The name Compostu', Compostella, appears as a district name, in consequence of its great importance as a place of pilgrimage in those days. The towns are very imperfectly given a circumstance which may partly be accounted for by the presence of Mohammedans in the southern part of the peninsula. Conspicuous among the objects of topographical interest is the Templum Sancti Iacobi, Santiago de Compostella, containing the shrine of the Apostle James, whose name and title “Iacomo Apostolo” were abbreviated into "Compostella." This was one of the most frequented places of pilgrimage of that day. Connected with it was the port of El-Padron, where the Apostle's body came to land, and whence it was transferred to Santiago. This place is designated by a Pharos, elaborately drawn, with the name Perona,* with which we may compare the form Lo Peyron in the map of Andreas Benincasa, 1476 ; and Paron in the Registrum Ptolemæi, 1486.
 
* Santarem (ii. 298) explains the name as = "per omnia (pour tous)," and identifies the Pharos with that of Brigantia)

[5] Na páxina da catedral de Hereford dedicada á exploración do mapamundi podemos ver algúns destes seres.

[6] Neste caso, usamos o programa SAGE para xerar a seguinte sucesión aleatoria de ceros e uns: 00110000011000010101010011100001101111000110001000

[7] Máis interesante é a entrada Maze solving algorithm da Wikipedia en inglés. Para lectores novos e angloparlantes recomendo as aventuras Basil y Fabian.

[8] Vexan a sección 8.2 do libro de Dieter Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms, 4th ed., Algorithms and Computation in Mathematics 5, Springer Heidelberg, 2013.