O labirinto de Hereford

Thou mayst not wander in that labyrinth; There Minotaurs and ugly treasons lurk.
William Shakespeare, The First part of King Henry the Sixth

Hai labirintos borgianos que esconden labirintos no seu interior. Como hai mapas borgianos que teñen o tamaño do Imperio e coinciden puntualmente con el [1]. O mapamundi de Hereford é o un e case o outro, unha reliquia do mundo en torno ao ano 1300.

Hai labirintos dos que podemos escapar se mantemos a nosa man, esquerda ou dereita dá igual, pegada ao muro. Non sería así como Teseo puido saír da casa de Asterión?

Pero, como non podía ser doutro modo, un labirinto ocupa un lugar privilexiado preto do centro do universo de Hereford, ao modo borgiano: a un tempo, labirinto do Minotauro e camiño de peregrinación.

Os labirintos clásicos unicursais [2] adoitan denominarse cretenses en honor ao Minotauro, aínda que hai variantes noutras moitas culturas. A idea é usar un mesmo patrón a partir dun núcleo central ou semente polo que o deseño se denomina seed-pattern en inglés.
 

Pero o Cartógrafo de Hereford converterá o inferno de Teseo -ou do Minotauro se lle facemos caso a Borges- no camiño da Xerusalén celestial, case idéntico ao trazado no cruceiro da catedral de Chartres uns sesenta ou cen anos antes [3]. Non hai confusión posible nese chemin de Jérusalem que conforma a mostra máis clara dos labirintos medievais.

Labirinto da catedral de Chartres

 Labirinto do mapamundi de Hereford

No bordo inferior do mapa, non lonxe do sitio de Hereford, a inscrición Compostu' identifica a Santiago de Compostela, Templum Sancti Iacobi, tumba de “Iacomo Apostolo”. Imaxinemos que partimos do porto de  El-Padron rumbo ao Paraíso no bordo superior do mapa [4]. Xa non poderemos confiar en atravesar o labirinto como Teseo, situándonos xunto á costa, pois rematariamos inevitablemente dando voltas arredor dalgún continente ou imperio.

Aínda que encontraremos seres estraños, como blemias, esciápodos e cinocéfalos [5], ignoremos por unha vez a Shakespeare. En cada bifurcación, botemos a sortes se imos por un lado ou outro [6], pero procuremos sempre marcar a ruta seguida. Sigamos así mentres non atopemos sinal do noso paso.  En caso contrario, retrocederemos ata chegar á bifurcación anterior para cambiar de dirección. Parece que esta idea para encontrar un camiño no labirinto se debe a un enxeñeiro francés, Charles Trémaux (1859 – 1882) [7], pero será un século máis tarde cando se demostre que ese algoritmo, coñecido como algoritmo de procura en profundidade, nos conducirá con seguridade ao noso destino [8].

As imaxes do mapamundi de Hereford e do labirinto de Chartres proveñen de Wikimedia Commons. As restantes imaxes son propias baixo licenza Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional.

[1]

Del rigor en la ciencia En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, estos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un Mapa del Imperio, que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y los Inviernos. En los Desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el País no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas.   Suárez Miranda: Viajes de varones prudentes Libro Cuarto, cap. XLV, Lérida, 1658 Jorge Luis Borges El hacedor (1960)

[2] Na literatura anglosaxona é tradicional distinguir os labirintos unicursais que teñen un único camiño de saída, chamándoos labyrinths, dos labirintos multicursais con varios camiños de saída, aos que se chama mazes, aínda que en realidade o termo maze se aplica indistintamente a calquera tipo de labirinto.

[3] Hai autores que sitúan a construción do labirinto pouco despois do inicio das obras en 1194 e outros pouco antes do final en 1250. O máis razoable é pensar que foi construído nun período intermedio tras rematar a construción da nave central.

[4] As referencias a Santiago de Compostela, Padrón e o faro de Hércules proveñen do libro

AN ESSAY IN ILLUSTRATION OF THE HEREFORD MAPPA MUNDI BY THE REV. W. L. BEVAN, M.A. VICAR OF HAY AUTHOR OF THE ‘STUDENT'S MANUALS OF ANCIENT AND MODERN GEOGRAPHY’ THE REV. H. W. PHILLOTT, M.A. PRÆLECTOR OF HEREFORD CATHEDRAL AND RECTOR OF STANTON-ON-WYE LONDON E. STANFORD, CHARING CROSS 1873

do que podemos extraer o seguinte texto:

The name Compostu', Compostella, appears as a district name, in consequence of its great importance as a place of pilgrimage in those days. The towns are very imperfectly given a circumstance which may partly be accounted for by the presence of Mohammedans in the southern part of the peninsula. Conspicuous among the objects of topographical interest is the Templum Sancti Iacobi, Santiago de Compostella, containing the shrine of the Apostle James, whose name and title “Iacomo Apostolo” were abbreviated into "Compostella." This was one of the most frequented places of pilgrimage of that day. Connected with it was the port of El-Padron, where the Apostle's body came to land, and whence it was transferred to Santiago. This place is designated by a Pharos, elaborately drawn, with the name Perona,* with which we may compare the form Lo Peyron in the map of Andreas Benincasa, 1476 ; and Paron in the Registrum Ptolemæi, 1486.   * Santarem (ii. 298) explains the name as = "per omnia (pour tous)," and identifies the Pharos with that of Brigantia)

[5] Na páxina da catedral de Hereford dedicada á exploración do mapamundi podemos ver algúns destes seres.

[6] Neste caso, usamos o programa SAGE para xerar a seguinte sucesión aleatoria de ceros e uns: 00110000011000010101010011100001101111000110001000

[7] Máis interesante é a entrada Maze solving algorithm da Wikipedia en inglés. Para lectores novos e angloparlantes recomendo as aventuras Basil y Fabian.

[8] Vexan a sección 8.2 do libro de Dieter Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms, 4th ed., Algorithms and Computation in Mathematics 5, Springer Heidelberg, 2013.

Outra xeometría

Voltemos a Bonaval e á súa escaleira de caracol. Desde o alto, veremos que a cidade está poboada por un universo de esferas. Pero, de súpeto, se miramos máis aló do xardín, sorprenderanos a inusual xeometría do remate da fachada de Santa Clara. Co seu aspecto de retablo pétreo, esta obra de Simón Rodríguez é un dos edificios máis singulares do barroco español [1]. De feito, é unha falsa fachada, que non dá a acceso á igrexa de Santa Clara, senón á portería do convento e a un pequeno xardín tras o que se esconde a verdadeira fachada, moito máis sinxela. É coma se o carácter mesmo de fachada pano outorgaralle un profundo sentido teatral, un trazo que provén en realidade dun audaz e orixinal exercicio formal no que os elementos decorativos van gañando complexidade e forza plástica a medida que se elevan ata culminar nun curioso frontón dobre rematado por tres insólitos cilindros, que lle dan a este singular decorado un insólito aire de modernidade [2].

Como recordabamos na anterior entrada, a xeometría da superficie deste particular remate é euclidiana, aínda que o camiño máis curto entre dous puntos non sexa realizado por unha recta, senón por un arco de hélice, tamén chamado loxodrómico, xa que forma un ángulo constante con calquera circunferencia directriz e calquera recta xeratriz. Pero basta desenrolar a superficie do cilindro ao xeito dun mapa para converter a hélice nunha verdadeira recta e convencérmonos de que, por un punto exterior a unha curva loxodrómica, só pasa outra curva loxodrómica paralela.

Pola contra, se pensamos na esfera, habemos de percorrer un arco de circunferencia máxima para unir dous puntos seguindo o camiño máis curto. Pero, por un punto exterior a unha destas liñas xeodésicas –e agora o nome está claramente xustificado–, non pasa ningunha paralela, pois dúas circunferencias de radio máximo sempre se cortan. Ou como ben sabían os gregos, moito antes do nacemento da xeometría riemanniana, a suma dos ángulos dun triángulo esférico é sempre maior que dous rectos, mentres que a suma dos ángulos dun triángulo cilíndrico é igual a dous rectos.

Pese ás diferenzas entre unha esfera e un cilindro, cando escribimos ás súas ecuacións en coordenadas cartesianas,

x² + y²  + z² = 1   e   x² + y² = 1,

observamos que as dúas superficies están definidas por un polinomio de grao 2. Dicimos que esferas e cilindros son cuádricas ou superficies de segunda orde. En 1887, un Henri Poincaré aínda novo mostraba [3] que, máis aló da terceira xeometría de Lobatchevski, hai unha cuarta xeometría [4], moito máis insólita que os nosos singulares remates rodeados de esferas.

Hai varias xeometrías cuadráticas, xa que hai varios tipos de superficies de segunda orde.  Se a superficie fundamental é un elipsoide, a xeometría cuadrática non difire da xeometría de Riemann.  Se a superficie fundamental é un hiperboloide de dúas follas, a xeometría cuadrática non difire da de Lobatchevski.  Se esta superficie é un paraboloide elíptico, a xeometría cuadrática redúcese á de Euclides; é un caso límite dos dous casos anteriores.  Está claro que non esgotamos a lista das xeometrías cuadráticas, pois non consideramos nin o hiperboloide dunha folla, nin as súas numerosas dexeneracións.  Podemos dicir polo tanto que hai tres xeometrías cuadráticas principais, que corresponden aos tres tipos de superficies de segunda orde con centro [5].  Deberemos engadir ademais as xeometrías que corresponden aos casos límite entre as que se sitúa a xeometría de Euclides.  ¿Como é posible que a xeometría do hiperboloide dunha folla fose ignorada ata agora polos teóricos? É porque implica as seguintes proposicións:  1º A distancia entre dous puntos situados nunha mesma xeratriz rectilínea da superficie fundamental é nula.  2º Hai dous tipos de rectas que corresponden, unhas ás seccións diametrais elípticas e outras ás seccións diametrais hiperbólicas; é imposible facer coincidir unha recta do primeiro tipo cunha recta do segundo mediante un movemento real. 3º É imposible facer coincidir unha recta consigo mesma por medio dunha rotación real ao redor dun dos seus puntos, tal e como ocorre na xeometría de Euclides cando se fai virar unha recta 180º ao redor dun dos seus puntos. Todos os xeómetras supuxeron implicitamente que estas tres proposicións son falsas, e en verdade estas tres proposicións son demasiado contrarias aos usos do noso espírito para que negándoas os fundadores da xeometría cresen defender unha hipótese e soñasen enunciala. [...]  ¿Que debemos pensar das premisas da Xeometría? ¿En que sentido pode dicirse, por exemplo, que o postulatum de Euclides é verdadeiro? Segundo acabamos de ver, a Xeometría non é outra cousa que o estudo dun grupo e, nese sentido, podería dicirse que a verdade da xeometría de Euclides non é incompatible coa da xeometría de Lobatchevski, xa que a existencia dun grupo non é incompatible coa doutro grupo. Entre todos os grupos posibles, eliximos un grupo particular para referirmos aos fenómenos físicos, como eliximos tres eixes de coordenadas para situar unha figura xeométrica.  Agora, ¿que é o que determina esta elección? Primeiro a simplicidade do grupo elixido. Pero hai outra razón: existen na natureza corpos notables, que se chaman sólidos, e a experiencia ensínanos que os diversos movementos posibles destes corpos están ligados pouco máis ou menos polas mesmas relacións que as diversas operacións do grupo elidido.  Daquela as hipóteses fundamentais da Xeometría non son feitos experimentais, pero, con todo, foron elixidas de entre todas as hipóteses posibles pola observación de certos fenómenos físicos.  Por outra banda, o grupo elixido tan só é máis cómodo que os outros e non se pode dicir que a xeometría euclidiana sexa verdadeira e a xeometría de Lobatchevski falsa, como non se podería dicir que as coordenadas cartesianas sexan verdadeiras e as coordenadas polares falsas.  Non insisto máis, pois o fin deste traballo non é o desenvolvemento destas verdades que empezan a ser banais.

Acababa de nacer a xeometría de Lorentz [6]. Observemos que os dous hiperboloides, dunha e dúas follas, herdan as súas respectivas xeometrías do espazo tridimensional dotado da forma cuadrática

q(u) = q(u₁,u₂,u₃) = u₁² + u₂² – u₃².

No caso do hiperboloide de dúas follas determinado pola ecuación 

x²+y²-z²+1 = 0, 

onde supoñemos a=b=c=1 por comodidade, a forma cuadrática é definida positiva en restrición ao plano tanxente á superficie en calquera punto, xa que q(u)>0 para calquera vector tanxente u ≠ 0. Para unir dous puntos dunha mesma folla seguindo o camiño máis curto, bástanos percorrer a curva que se obtén ao intersecar o plano que contén a eses dous puntos e á orixe. Pola contra, en cada punto do hiperboloide dunha folla determinado pola ecuación 

x²+y²-z²-1= 0, 

hai dúas direccións tanxentes u e u´ que verifican q(u) = q(u´) = 0. De feito, se temos en conta que a ecuación se escribe

(x+z)(x-z) = (1+y)(1-y), 

convencerémonos de que por ese punto pasan dúas rectas reais perpendiculares a si mesmas. Todos os puntos de cada unha desas rectas directrices están a distancia nula uns doutros.

Tras a súa morte, Simón Rodríguez converterase nun dos «fatuos delirantes» desprezados pola rancia Academia e os seus herdeiros. Hai unha corrente matemática e histórica interesada desde fai máis dun século en empequenecer a figura de Poincaré, pero hoxe calquera matemático ou historiador da ciencia ten acceso a obras orixinais e pode recoñecer por si mesmo o alcance do seu pensamento.

[1] Tras as reformas realizadas ao longo dos séculos XVI e XVII no antigo convento das monxas clarisas construído en 1260 grazas á dote de Violante de Aragón, esposa de Alfonso X, o aspecto actual do convento de Santa Clara débese á reforma emprendida por Domingo de Andrade a finais do século XVII e rematada por Simón Rodríguez entre 1721 e 1726.

Simón Rodríguez (Santiago de Compostela, 1679-1751) é un dos máis importantes arquitectos do barroco español e o máximo representante do estilo de placas. Discípulo probable de Domingo de Andrade, con quen colaborou nos seus inicios como entallador na construción do baldaquino da catedral compostelá, desenvolveu na súa obra posterior o seu interese pola xeometrización da estrutura arquitectónica, o que lle outorga unha indubidable modernidade. Grazas a un particular tratamento da pedra, máis propio dun entallador ou dun escultor que dun arquitecto, e a un singular xogo cos volumes xeométricos, ambos os dous característicos do estilo de placas, as súas obras posúen un aspecto case teatral. Ocorre así coa súa obra mestra, a fachada do convento de Santa Clara, pero tamén co retablo da Igrexa da Compañía construído pouco despois en 1727. Esas mesmas características están presentes na capela do Santo Cristo de Conxo ou na fachada do Colexio de Exercitantes. Aínda que segue o proxecto orixinal de Simón Rodríguez no interior e no primeiro corpo da fachada, a igrexa de San Francisco quedou inacabada pola morte do arquitecto e a súa fachada foi modificada de xeito substancial por imposición da Academia de Belas Artes de San Fernando que viña de nacer.

[2] Estes dous epítetos repítense na obra de estudiosos como Werner Weisbach e Antonio Bonet Correa, citados por María del Carmen Folgar, ou María Dolores Vila Jato para referirse á obra de Simón Rodríguez. Destaca a visión do historiador alemán Werner Weisbach no seu traballo Spanish Baroque Art: Three Lectures Delivered at the University of London [in January 1939] publicado pola editorial Cambridge University Press en 1941:

O volume aumenta na parte superior por medio dunha especie de composición cubista que sobresae sobre un frontón triangular: cilindros de pedra e bloques rectangulares de carácter abstruso, únicos no seu xénero.

Véxanse tamén os libros de Antonio Bonet Correa (La arquitectura en Galicia durante el siglo XVII,  Publicaciones del Instituto Padre Sarmiento, CSIC, 1984) e María del Carmen Folgar de la Calle (Simón Rodríguez, Fundación Pedro Barrié de la Maza,1989) e o artigo Simón Rodríguez, el estilo de placas publicado por María Dolores Vila Jato en Artehistoria.

[3] Henri Poincaré, Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, Bulletin de la Société Mathématique de France, 15 (1887), 203-216.

[4] Tomo prestada esta denominación do propio Poincaré:

A cuarta xeometría.—  Entre estes axiomas implícitos, hai un que creo merece algo de atención, porque abandonándoo pódese construír unha cuarta xeometría tan coherente como as de Euclides, Lobatchevsky e Riemann. […] Non citarei máis que un destes teoremas e non elixirei o máis singular: unha recta real pode ser perpendicular a si mesma. […] Noutros termos, os axiomas da xeometría (non falo dos da aritmética) non son máis que definicións disfrazadas. Pero entón, ¿que debemos pensar desta cuestión? ¿A xeometría euclidiana é verdadeira? Isto non ten ningún sentido. É o mesmo que preguntar se o sistema métrico é verdadeiro e as antigas medidas falsas, se as coordenadas cartesianas son verdadeiras e as coordenadas polares falsas. Unha xeometría non pode ser máis verdadeira que outra, só pode ser máis cómoda. Henri Poincaré,  Ciencia e hipótese, Flammarion, Paris, 1902

Máis teatral diría Simón Rodriguez.

[5] Elipsoides, hiperboloides e paraboloides, estes últimos con centro no infinito.

[6] É o propio Henri Poincaré quen chamará grupo de Lorentz ao grupo formado polas «transformacións de relatividade» en homenaxe ao seu amigo Hendrik A. Lorentz ao demostraren en 1905 que estas deixan invariantes as ecuacións do electromagnetismo, e Hendrik A. Lorentz quen contará a historia de primeira man en Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la Physique Mathématique, Acta Mathematica, 38 (1921), 293-308.

Un universo de esferas

Universo de esferas from Matemáticas en imágenes on Vimeo.

Bonaval

A escaleira construída por Domingos de Andrade en Bonaval a finais do século XVII é unha tripla escaleira helicoidal, voada, de espírito palladiano. Nesa mesma época, emulando a Arquímedes, Jacob Bernoulli pide que debuxen unha espiral na súa tumba a modo de epitafio.

Eadem numero mutata resurget 

Cada cidade ten un lugar máxico. Aquí, ao final do camiño, ese lugar máxico chámase Bonaval. A antiga igrexa, o vello mosteiro de Santo Domingos de Bonaval [1], xunto á Porta do Camiño, o xardín de Álvaro Siza que o rodea, todo está cheo de maxia. Nunha esquina do claustro, escondida á vista, ocúltase unha pequena xoia: a antiga escaleira abacial construída por Domingos de Andrade (1639-1712) a finais do século XVII [2]. É una tripla escaleira helicoidal, voada, de espírito palladiano [3]. Cada chanzo áchase encaixado no muro sen outra suxeición que un mínimo apoio no chanzo inferior polo medio dunha zanca que describe unha hélice circular arredor dun oco de amplas dimensións. A levidade da construción parece querer ilustrar as propiedades da forma matemática que adopta cada caracol: un helicoide recto. 

 

Recordemos que un helicoide recto admite a seguinte parametrización cartesiana: 

x = u cos v 

y = u sen v 
z = b v 
de maneira que a curva que se obtén ao fixar cada valor de u é unha hélice circular contida no cilindro de radio u con paso igual a 2πb [4]. Cada hélice forma un ángulo constante, igual a arctan(b/u), con calquera plano horizontal, caracterizándoa entre todas as curvas contidas no cilindro [5]. 

Nunha escaleira helicoidal, se chamamos n ao número de chanzos de cada volta completa, ω á amplitude de cada chanzo (é dicir, ao ángulo que forma, medido en radiáns) e h á súa altura, entón o paso completo da escaleira ven dado por 

2πb = nh = nωb. 

Chámase paso reducido ao cociente b = h/ω. Na escaleira de Andrade, con n=44 e h=20 cm, o ángulo ω=2π/44 ~ 8,18º e o paso reducido b = 140. A pendente da hélice que debuxa cada tramo ao longo do muro exterior é igual ao cociente entre o paso b=140 e o radio da escaleira R=280cm, similar ao cociente da altura h=20cm polo ancho máximo de cada chanzo, igual a 40cm. Isto significa que forma un ángulo de algo menos de 27º con cada plano horizontal. Pola súa banda, a pendente da zanca (na súa parte interior que limita o oco central) é igual ao cociente entre o paso b=140 e o radio do oco r=113cm, o que da un ángulo aproximado de algo máis de 51º. Se desenrolamos o cilindro de radio r ≤ u ≤ R, veremos con claridade que a pendente da escaleira a esa distancia u do eixo central é igual a b/u e o seu equivalente trigonométrico a arctan(b/u). 

Figura 1

O noso helicoide está formado –foliado dicimos na terminoloxía matemática– por hélices circulares de maneira que os ángulos que forman con calquera plano horizontal son constantes e varían entre eses dous valores aproximados de 27º e 51º. Na súa parte inicial, cada tramo da escaleira é unha copia do anterior, obtido por simple rotación de ángulo 120º, distribuíndose a súa altura de paso de maneira uniforme. Na parte final, Andrade xoga coa perspectiva e o contraste de materiais facendo que cada tramo se deteña a una altura diferente. 

Pero, ¿que é o que realmente vemos na imaxe? Supoñamos que fora tomada cunha cámara escura (en lugar da cámara compacta coa que foi tomada en realidade), o que nos aforrará termos que nos preocupar polas leis da óptica xeométrica e as posibles aberracións. Desde un punto de vista matemático, a imaxe proporcionada por esta cámara escura ideal estaría dada pola proxección estereográfica desde o punto (0,0,ε) do semiespazo E formado polos puntos de coordenadas (x,y,z) con z > ε sobre o plano horizontal de ecuación z=0 para algún ε > 0 [6]. Un simple applet permite visualizar esta idea: movendo os puntos P e Q pódese apreciar como varían as súas imaxes p e q. 

A proxección π danos un mapa completo de cada semicilindro de radio u que ocupa todo o plano z=0 privado da orixe [7]. A imaxe da circunferencia de radio u situada a unha altura z é a circunferencia de radio εu/(z-ε). Observemos que o radio εu/(z-ε) tende a 0 cando a altura z tende a infinito, mentres que εu/(z-ε) tende a infinito cando a altura z tende a ε. Pola súa banda, as semirrectas verticais convértense en semirrectas radiais que converxen á orixe. Pero, ¿cal é a imaxe que nos devolve a cámara escura de cada unha das hélices que forman o noso helicoide (determinada por un ángulo arctan(b/u) con r ≤ u ≤ R)? 

Se nos fixamos na imaxe inicial, podemos apreciar que a imaxe de cada zanca (que viría determinada pola ecuación u = r) aseméllase a unha curva ben coñecida [8]. O seu nome espiral logarítmica segundo Varignon, estudada por Descartes e Torricelli a mediados do século XVII. É a spira mirabilis que fascinará a Jacob Bernoulli pouco antes da construción da nosa escaleira [9]. 

Unha espiral logarítmica pode describirse mediante a ecuación ρ = ue^δθ en coordenadas polares ou as ecuacións 
x = u e^δθ cos θ
y = u e^δθ sen θ
usando coordenadas cartesianas [10]. 

Figura 2

Igual ca hélice, a espiral logarítmica forma un ángulo constante α con calquera semirrecta radial. A condición tan α = 1/δ dinos que: 

α = arctan (1/δ) = arccot δ. 

Chámase grao da espiral ao ángulo β = π/2 - α = arctan (δ) que forma con calquera circunferencia centrada na orixe. Se xiramos unha espiral logarítmica un ángulo θ', o resultado coincide co que se obtén ao dilatar ou contraer a espiral multiplicando por un factor e^-δθ'. En matemáticas, esta transformación chámase homotecia. Daquela, se tomamos θ' igual a un múltiplo enteiro de 2π, a espiral permanece invariante ao aplicarlle a homotecia de razón e^-δθ'. Eadem numero mutata resurget dirá Bernoulli para describir esta propiedade característica da espiral logarítmica. 

Cum autem ob propietatem tam singularem tamque admirabilem mire mihi placeat Spira haec mirabilis, sic ut ejus contemplatione satiari vix queam; cogitavi, illam ad varias res symbolice repraesentandas non inconcinne adhiberi posse. Quoniam enim semper sibi similem et eandem Spiram gignit, utcunque volvatur, evolvatur, radiet; hinc poterit esse vel sobolis parentibus per omnia similis Emblema; Simillima Filia Matri. Vel, [si rem aeternae Veritatis Fidei mysteriis accommodare non est prohibitum] ipsius aeternae generationis Filii, qui Patris veluti imago, et ab illo ut Lumen a Lumine emanans, eidem existit, qualiscunque adumbratio. Aut, si mavis, quia Curva nostra mirabilis in ipsa mutatione sempre sibi constantissime manet similis et numero eadem, poterir esse, vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus; vel etiam Carnis nostrae post varias alterationes, et tandem ipsam quoque mortem, ejusdem numero resurrecturae symbolum; adeo quidem, ut si Archimedem imitandi hodienum consuetudo obtineret, libenter Spiram hanc tumulo meo juberem incidi cum Epigraphe: Eadem numero mutata resurget. Do mesmo modo que esta espiral marabillosa me produce un pracer sublime debido á súa propiedade tan singular e tan admirable, apenas son capaz de quedar satisfeito coa súa contemplación. Pensei que esta podería empregarse para representar simbolicamente varias cousas de maneira nada inexacta. En efecto, xa que sempre xera unha espiral semellante a si mesma e sempre a mesma independentemente de que se enrole, se desenrole ou xire, podería ser por iso o emblema dos fillos en todo semellantes aos seus pais: a filla igualísima á nai. Ou ben, se non está prohibido aplicar o argumento aos misterios da fe da verdade eterna, podería ser a imaxe da propia xeración eterna do Fillo que, como imaxe do Pai, e que emana del como a luz da luz, permanece consubstancial con el, sexa cal sexa a súa aparencia. Ou, se se prefire, xa que a nosa curva admirable mantense no medio do propio cambio sempre exactamente igual a si mesma e nas súas mesmas proporcións, podería mesmo ser a imaxe da fortaleza e firmeza na adversidade. Tamén podería selo da nosa carne tras as súas distintas alteracións e, finalmente, tras a propia morte, como símbolo de que ha resucitar cos seus mesmos caracteres, ata o punto de que, se nos nosos días se mantivese o costume de imitar a Arquímedes, de boa gana mandaría que se gravase na miña tumba esta espiral con esta inscrición: resucitará sendo a mesma, aínda que cambie o seu aspecto.

As imaxes da escaleira de Andrade dinnos que o camiño máis curto entre dous puntos dun cilindro dista de ser recto. Se os dous puntos están sobre unha mesma vertical, esta realiza a distancia entre ambos os dous. Pero noutro caso deberíamos seguir un arco loxodrómico, reducido a un arco de circunferencia cando os dous puntos sitúanse á mesma altura. A xeometría do cilindro é euclidiana –pensemos que por un punto exterior a una destas liñas xeodésicas só pasa unha paralela–, aínda que algunhas rectas cilíndricas cúrvanse. Pero deixeimos esta historia para outra ocasión. construció

Grazas ao Museo do Pobo Galego pola súa amabilidade ao autorizarme a fotografar e tomar medidas das dimensións da escaleira de Domingos de Andrade. O meu máis sincero agradecemento a José Antonio Puentes pola súa fermosa tradución do fragmento de Bernoulli, enteiramente fiel á letra e ao espírito do texto orixinal.  

[1] Actual sede do Museo do Pobo Galego. 

[2] Domingos de Andrade (Cee, 1639 - Santiago de Compostela, 1712) é un persoeiro clave na transición do clasicismo ao barroco durante a segunda metade do século XVII en Galicia. Autor polifacético, conta cunha ampla obra que abrangue desde os seus inicios como entallador e autor de diversos retablos ata os seus traballos posteriores como arquitecto, que van do relixioso ao civil e militar. Foi nomeado mestre de obras da catedral compostelá en 1676, momento no que iniciou a construción da Torre do Reloxo, de inspiración italiana, completada posteriormente en 1700 co Pórtico Real da Quintana. En 1695, por encargo do arcebispo Monroy, Andrade reconstrúe a fachada da portería, as celas e o claustro do antigo convento de Santo Domingos, engadindo nun exercicio de virtuosismo clasicista unha tripla escaleira de caracol nunha esquina do claustro. Ese mesmo ano, publica Excelencias de la arquitectura, un tratado erudito sobre a teoría da arquitectura. Nas súas obras de arquitectura civil como a Casa das Pomas e a Casa da Parra ou o proxecto inicial da Casa da Conga, apréciase tamén a clara influencia do clasicismo renacentista italiano sobre a obra do arquitecto galego. 

[3] No primeiro dos I Quattro Libri dell'Architettura, Andrea Palladio inclúe o debuxo dunha escaleira aberta de catro tramos, encargada por Francisco I de Francia para o castelo de Chambord e diferente da escaleira de dous tramos arredor dunha lanterna central que coñecemos hoxe. Ese mesmo espírito está presente na famosa escaleira oval construída por Palladio no Convento della Carità veneciano. 

[4] Pola súa banda, as curvas que se obteñen supoñendo que v é constante son segmentos de lonxitude igual á amplitude do intervalo de definición do parámetro u, comprendido entre un radio mínimo r e un radio máximo R. Chámase paso á diferencia de altura cando damos unha volta completa substituíndo v por v+2π, véxase a figura 1. 

[5] Dise entón que a hélice é unha curva loxodrómica do cilindro. 

[6] Un pequeno cálculo permite comprobar que esta proxección, á que chamaremos π, está definida da seguinte maneira:

 π(x,y,z) = (-εx/(z-ε), -εy/(z-ε))

calquera que sexa o punto (x,y,z) do semiespazo E. 

[7] A orixe do plano é a imaxe do punto do infinito, ou se se quere usar outra denominación, o punto de fuga da nosa particular perspectiva. 

[8] Se a proxección π conservase os ángulos, cada hélice circular proxectaríase nunha curva plana que formaría un ángulo constante con calquera circunferencia centrada na orixe. Saberiamos con certeza que se trata dunha espiral logarítmica. Pero os ángulos non son conservados e a curva proxectada non é propiamente unha espiral logarítmica. Poderiamos construír sen demasiada dificultade un mapa do cilindro que conservase os ángulos e nos permitise substituír cada hélice por unha espiral logarítmica. Así, por exemplo, poderiamos enviar cada punto (x,y,z) do semicilindro de radio u sobre o punto (e^-z/ux, e^-z/uy) do disco de radio u privado da orixe ou usar ideas habituais na proxección cartográfica. Non obstante, conformarémonos con seguir imaxinando que dispoñemos dunha cámara escura ideal que nos devolve como imaxe unha simple espiral. 
  
[9] Jacobi Bernoulli, Linea Cycloidales, Evoluta, Ant-Evoluta, Caustica, Peri-Caustica, Spira Mirabilis. Acta Eruditorum anno MDCXCII, I.207, Lipsiæ, prostant apud Joh. Grossii Haeredes & Joh. Frid. Gleditschium. 

[10] A cámara escura inverte o sentido de xiro das nosas hélices e espirais, aínda que se manteñen as denominacións habituais. Cada hélice determinada por un valor de u é destra, o que significa que avanza en sentido contrario ás agullas do reloxo. A súa imaxe é dextroxira, xa que a distancia á orixe aumenta no sentido das agullas do reloxo. Pero, nas imaxes tomadas cunha cámara compacta, as hélices destras dan lugar a espirais levoxiras.  

espirais dextroxiras

espirais levoxiras

Unha espiral logarítmica dextroxira está dada pola ecuación en coordenadas polares ρ= u e^-δθ ou polas ecuacións en coordenadas cartesianas
x = u e^-δθ cos θ
 y = - u e^-δθ sen θ. 

NOTA ADICIONAL: Como xa dixemos, a imaxe de calquera hélice circular –como a zanca da escaleira de Andrade– é unha espiral, pero non pode ser unha espiral logarítmica, xa que o seu grao varía. Danos igual obter a imaxe mediante unha cámara escura (usando a proxección π) ou mediante unha cámara compacta (usando un sistema de proxección cónica). A seguinte gráfica representa o valor do expoñente δ cando facemos variar a altura z entre 2ε = 8cm e 3000 cm. O tramo vermello corresponde ao intervalo comprendido entre unha altura mínima de 101,86 cm (que correspondería a un ángulo de visión de 60º) e máxima de 1640 cm, ás que corresponden expoñentes δ = 3,1388 e δ = 0,3666 respectivamente. Cando nos aproximamos ao punto de fuga, o expoñente tende a facerse constante, pero cada vez máis pequeno, de maneira que o aspecto da espiral aseméllase cada vez máis a unha espiral logarítmica, pero o seu grao tende a 0, polo que a espiral aseméllase en realidade a unha circunferencia, reducida a un punto no límite. 

Figura 3

Se nos mantemos na parte final do tramo vermello da figura 3, poderemos trazar porcións de espiral logarítmica que se axustan relativamente ben á imaxe da zanca, como ocorre coa espiral azul que contemplabamos antes.