19 de decembro de 2009

Pratos

A elección dun oficio é a miúdo fruto do azar e da necesidade. Pero o gusto do afeccionado expresa ante todo unha vontade deliberada e permanente. Ao longo de verán de 1958, o pintor Isaac Díaz Pardo [1] e o escritor Rafael Dieste [2], exiliado na Arxentina, intercambiaron notas sen cesar dun lado ao outro do Atlántico para discutir problemas xeométricos. Nesa época, o escritor xa tiña descrito o seu interés pola xeometría como «un deber co selo da fatalidade». Algunha vez retomarei, se cadra, a súa historia, pero agora gustaríame render homenaxe ao pintor. De feito, desde 1946, a súa actividade industrial  – coa creación da Fábrica de Cerámicas do Castro en 1949 e da Fábrica de Porcelanas de Magdalena en 1955 – foi cada vez máis importante. É o período no que comezou a colaborar con outros artistas do exilio galego na Arxentina na busca de novas formas industriais, baixo a influencia das escolas Vxutemas e Bauhaus, en paralelo coa Escola de Ulm [3]. Ese será o obxectivo do Laboratorio de Formas, creado en 1963, que asumirá a tarefa de reconstruír e reabrir as antigas Reais Fábricas de Sargadelos [4], pechadas desde 1875.


Entre as pezas creadas por Isaac Díaz Pardo, eu teño predilección polos seus pratos fondos. A súa forma particular distíngueos  perfectamente doutros pratos. Que é o que os fai especiais? Pregunteille e respondeume que a súa idea era facer simplemente un bo prato para tomar o caldo... Pero se un mira o perfil dos pratos fondos do Castro, decátase da súa semellanza cunha curva notable chamada cicloide acurtada ou trocoide. Débense eses termos a Galileo (1564-1642) e Gilles de Roberval (1602-1675). Os primeiros traballos sobre as trocoides remóntanse a Albrecht Dürer (1471-1528) e sobre as cicloides a Charles de Bouelles (1475-1566) e Marin Mersenne (1588 -1648).


Unha cicloide acurtada é descrita polo movemento do pedal dunha bicicleta respecto da calzada. Unha cicloide alongada é descrita por un punto da roda dun tren respecto do alto do raíl. Se a lonxitude do pedal é igual ao radio da roda da bicicleta ou se a altura dos raís é nula, fálase simplemente de cicloide [5]. Velaí as ecuacións destas curvas:
   
x = a θ – b sin θ
y = a – b cos θ
 

De feito, os pratos de Isaac Díaz Pardo teñen outra particularidade, pois a razón a/b entre o radio da roda e a lonxitude do pedal é igual a √2. Por outra banda, desde o principio en 1949, ideou – coma a maioría das máquinas usadas en Sargadelos – as máquinas destinadas ao modelado e calibrado das pezas cerámicas, as que chamou epicicloidais. A pasta moldéase coa axuda dun trompo que xira ao redor da base superior (circular) dun molde (conoidal truncado). Preto da punta, o trompo é un cono recto que reproduce a base do prato. Máis lonxe, o trompo é recto ou curvo dependendo da natureza da ala do prato que se quere fabricar. Agradézolle moito a Isaac Díaz Pardo o debuxo que tivo a ben facer para min:


Os movementos relativos do molde o do trompo describen  cicloides esféricas. En efecto, fixado un punto no bordo do trompo, a traxectoria descrita por este punto é unha cicloide esférica ou unha cicloide esférica alongada segundo que o punto pertenza á parte recta ou curva do trompo.  A primeira curva – en realidade unha hipocicloide esférica – é descrita por un punto da roda da bicicleta cando o ciclista da voltas nun velódromo circular. A segunda cando o noso tren (de xoguete) fai o mesmo nun circuito circular. Velaí as ecuacións destas curvas:

x = (a – b cos ω + d cos ω cos qθ) cos θ + d sin θ sin qθ
y = (a – b cos ω + d cos ω cos qθ) sin θ – d cos θ sin qθ
z = sin ω (b – d cos qθ)

onde a é o radio do círculo de base, b é o do círculo móbil, d é a distancia do punto ao centro do círculo móbil e q = a/b.


A máquina cicloidal de Isaac Díaz Pardo produce pratos dunha calidade excepcional. Pero o que máis me interesa finalmente é que, como dixo o seu amigo Lipa Burd [6], «non hai máquina que non sexa xeométrica, como debe ser».

Tradución do billete «Assiettes»
publicado no sitio Images de Mathématiques



[1] Isaac Díaz Pardo – nado en Santiago de Compostela en 1920 – non é só un artista cunha obra moi diversa – pintura, debuxo, arquitectura, escultura, cerámica, tipografía – senon tamén unha das persoas que mellor encarna a innovación na Galicia do século XX como creador do Laboratorio de Formas, do grupo Sargadelos e da editorial Ediciós do Castro

[2] Rafael Dieste (Rianxo, 1899 – Santiago de Compostela, 1981) é unha das figuras maiores da literatura galega do século XX. A súa obra en galego e español reúne pezas dramáticas (A fiestra valdeira, Viaxe e fin de don Frontán), contos (Dos arquivos do trasno, Historias e invenciones de Félix Muriel), poesía (Rojo farol amante) e ensaio.

[3] Hochschule für Gestaltung - HfG Ulm.

[4] Nun principio, o conxunto das Reais Fábricas de Sargadelos estaba formado por unha fundición e un alto forno creados en 1788 por Antonio Raimundo Ibáñez – máis coñecido co nome de marqués de Sargadelos – destinados á produción de munición e pezas de artillería para o exercito español. Máis tarde, en 1806, comezou a producirse porcelana grazas aos xacementos de caolín descubertos preto de Sargadelos. Acusado de «afrancesado», é dicir, liberal «ás maneiras francesas», o marqués de Sargadelos foi asasinado en 1809.  Hoxe, no sitio internet de Sargadelos, outros pailáns – que desta controlan o consejo de administración – fixeron desaparecer calquera mención do asasinato do marqués e de Díaz Pardo.

[5] A cicloide é unha curva con propiedades notables:
- O tobogán máis rápido ten a forma dunha cicloide. Dise que a cicloide é una curva braquistócrona.
- Se se botan unhas goutas de auga nun prato coa forma dunha cicloide, estas chegarán ao fondo ao mesmo tempo (aínda que as súas velocidades serán diferentes). Esta propiedade exprésase dicindo que a cicloide é unha curva tautócrona.
- Un péndulo cicloidal – chamado de Huygens – é isócrono, pois o período non depende da posición inicial.
- Se se ten unha lente cicloidal – curvada para baixo como no debuxo anterior –, a caústica obtida pola reflexión de raios luminosos verticais é a imaxe pola homotecia de razón 1/2 dos dous «arcos» que resultan de substituír  θ por θ/2.

[6] Artista e publicista arxentino, de orixe ucraína e instalado en Francia, que pertence ao movemento da Arte Construida.

4 de novembro de 2009

Películas de matemáticas







Os publicistas da ENS de Lyon poden estar contentos da súa «regra-resorte» [1]. O meu fillo de sete anos está orgulloso deste regalo que lle trouxen de Lyon. Mostroullo aos seus amigos na escola explicándolles que a ENS de Lyon é un sitio «onde fan películas de matemáticas». Gran discusión :

– Non hai películas de matemáticas!
– As matemáticas non son máis que sumas e restas!
– Non, eu vin unha película de matemáticas onde os continentes bailan cando a terra xira sobre un espello!
– Como?

Non me atreverei a abordar aquí a cuestión da natureza das matemáticas, que deixarei ao meu fillo e os seus amigos, pero gustaríame falar de dúas películas de matemáticas [2].

A máis recente ten máis de trinta anos. Vina moitas veces cos meus estudantes, pero aínda me divirte o extravagante paseo de Colin Rourke no plano hiperbólico. Agora ben, A non euclidean universe, producida pola BBC e a Open University en 1977, é unha película seria,


 que non require grandes coñecementos de matemáticas – «pista verde» por usar a terminoloxía do sitio [Images de Mathématiques] –, pero ofrece algunhas fermosas ideas. Por exemplo, grazas aos grafos


compréndese axiña que o axioma das paralelas («por un punto exterior a unha recta pasa unha única paralela») é consistente cos axiomas de incidencia da xeometría plana, pero tamén independente deles:

I.1. «Por dous puntos distintos pasa unha única recta».
I.2. «Unha recta contén polo menos dous puntos distintos».
I.3. «Hai tres puntos non aliñados».

A segunda película é moi diferente. Trátase dunha lección, descrita polo seu actor principal George Pólya como un «guessing game» – un «xogo de adiviñas» –, onde se propón e se resolve un problema [3]: cantas porcións de espazo están delimitadas por cinco planos en posición xeral ? Ou ben, se se prefire a imaxe ofrecida por Pólya, se cortamos cun coitelo un bo queixo, poñamos bearnés, unha, dúas, tres, catro, cinco veces, sempre ao azar, cantos trouzos teremos ? Velaí o problema abordado no filme Let Us Teach Guessing, rodado en 1966 e distribuído pola Mathematical Associa-tion of America. Paréceme unha bonita cuestión. Pero o prodixio está en que un pode ver o pensamento matemático en acción.




Tradución do billete «Films de maths»
publicado no sitio Images de Mathématiques.



[1]
En realidade, unha banda reflectante para ciclistas na que pode lerse «O ensino pola investigación e para a investigación».


[2] Velaí as referencias dos dous filmes (que non son fáciles de atopar, aínda que o segundo está no catálogo da MAA):

A non euclidean universe, produced by Jack Koumi. Edited by Open University and BBC Ancora Audiovisual, 1977.

Let Us Teach Guessing, by George Pólya. Edited by the Mathematical Association of America, 1966.

[3] Pódese atopar unha descrición detallada do problema e da súa solución no libro:

G. Pólya, Les mathématiques et le raisonnement plausible. Gauthier-Villars, Paris, 1958 [Matemáticas y Razonamiento Plausible. Tecnos, Madrid, 1966].

Debo a cita de Descartes ao sitio Gallica: R. Descartes, Œuvres, vol. XI, publiées par Victor Cousin et précédées de l'éloge de Descartes par Thomas. F.-G. Levrault, Paris, 1824-1826.