17 de abril de 2012

Redes

Fagamos nesta ocasión unha pequena incursión na realidade, ou mellor nalgunhas ideas –que aínda non son definitivas– sobre a realidade biolóxica e física. O estudo actual dos sistemas biolóxicos caracterízase pola análise das relacións entre diferentes compoñentes biolóxicas en lugar de cada compoñente en si mesma. Inténtase comprender as funcións biolóxicas a partir dunha rede de interaccións entre moléculas, que adoita estar modelada por un grafo, orientado ou non [1], cunha combinatoria e unha topoloxía complexas. Os biólogos interésanse daquela por redes complexas como a rede de regulación xénica, que describe as relacións entre os xenes e as proteínas, a rede de interaccións proteína-proteína, que contempla as relacións entre proteínas, ou a rede metabólica, que intenta modelizar as reaccións metabólicas dun organismo [2].

Figura 1
A figura mostra a rede de interaccións do lévedo Saccharamoyces cerevisiae onde os 1870 nós representan proteínas e os 2240 arcos interaccións físicas entre estas proteínas [3].

As redes neuronais e as redes alimentarias son outros exemplos coa mesma orixe, pero hai redes sociais de actores ou de matemáticos, redes de información como as redes de citas, Internet ou a World Wide Web e redes tecnolóxicas como as redes das centrais eléctricas dun país ou Internet2 que non teñen unha raíz biolóxica. Todas estas redes posúen algunhas propiedades comúns como a existencia de «camiños curtos» en promedio [4] –o efecto «small world» ou «do mundo pequeno» [5]–, unha elevada taxa de agregación ou «clustering» [6] –de maneira que os veciños dun nó sempre teñen outros veciños– ou a distribución do grao dos nós segundo unha lei de potencia [7] –con moitos nós feblemente conectados e poucos fortemente conectados–.

En 2002, o equipo do profesor Uri Alon do Weizmann Institut of Science observou que estas redes conteñen pequenos subgrafos sobrerrepresentados, aos que chamaron motivos [8]. As súas frecuencias de aparición son máis altas que as correspondentes en grafos aleatorios coa mesma distribución de nós. Presentan tamén altas taxas de conservación entre os diferentes organismos. Velaquí os motivos sobrerrepresentados na rede neuronal do nematodo Caenorhabditis elegans (252 neuronas e 509 conexións):

Figura 2
A idea dunha función biolóxica asociada aos motivos da rede neuronal deste pequeno verme, que se converten daquela en módulos funcionais, é moi suxestiva. Pero como foi sinalado por outros autores, hai que ter coidado cos falsos positivos derivados do algoritmo de reconexión usado para xerar redes aleatorias e coa agregación local de neuronas favorecida pola estrutura espacial da rede –como acontece coa rede neuronal do verme Caenorhabditis elegans[9]. Non obstante, a proposta dunha modularidade propia de certas redes biolóxicas (onde a agregación de módulos funcionais simples –presentes en moi diferentes especies– conduce a amplas e complexas estruturas, superpostas e fortemente vencelladas, características de cada especie) segue a ser moi atraente, cando menos para un matemático [10].

Hai diferentes modelos que se propoñen aprehender as propiedades esenciais das redes do mundo real. O modelo aleatorio de Erdös-Rényi, que se obtén conectando cada par de nós con probabilidade 0 ≤ p ≤ 1, posúe a propiedade de «camiños curtos» propia dos «mundos pequenos», pero non as outras propiedades. O modelo de Watts-Strogatz permite aumentar a taxa de agregación, pero a distribución do grao dos nós segue sendo poisoniana. Para construír un modelo cunha distribución do grao que siga unha lei de potencia, pódese usar un algoritmo, chamado modelo de Barabási-Albert, consistente en engadir un novo nó e conectalo cos existentes (enumerados i=1,...n) cunha probabilidade
que se di de conexión preferente, proporcional ao grao ki de cada nó i. Trátase de modelos, chamados  sen escala, moi robustos ou insensibles aos erros aleatorios, pero vulnerables aos ataques dirixidos contra os nós de grao alto ou  «hubs». Pero neste modelo a taxa de agregación tende a 0 cando o tamaño da rede aumenta, un feito que non se corresponde coa observación. A noción de rede xerárquica, introducida por E. Ravasz do equipo de A. L. Barabási, pretende eliminar este problema [11]. Trátase de combinar de maneira recorrente pequenos conglomerados de motivos. Velaquí un exemplo de rede xerárquica, descrita no artigo de Ravasz, onde o centro dun «módulo central» conéctase cos «nós periféricos» (pertencentes aos submódulos periféricos) de tres «módulos  periféricos» e os centros destes módulos están interconectados.

Figura3
Sinalemos que calquera subgrafo finito pode atoparse nunha veciñanza de  calquera nó de radio limitado. Non obstante, o carácter repetitivo de esta rede é menos ríxido que no caso do mosaico de Kepler-Penrose ou da árbore de Kenyon onde calquera motivo atópase de maneira fiel, é dicir tendo en conta as arestas presentes e ausentes. Nas redes xerárquicas, a taxa de agregación aproxímase a unha constante –que vale 0,606 no exemplo anterior– independente do número de nós, pero a función c(k), que mide a tasa de agregación dos nós de grao k, segue unha lei de potencia
neste caso. Ravasz e os seus coautores usan este tipo de rede para modelizar a rede metabólica do bacilo Escherichia Coli. O proceso ilustrado na seguinte figura permítelles reducila a unha rede modular e servirse da lei de escala para concluír que se trata dunha rede xerárquica [12].

Figura 4
Como dixen nun principio, trátase de ideas que non son definitivas. Pero, discutidas ou non, debuxan na miña opinión un interesante bosquexo do papel da bioloxía nas matemáticas do futuro [13]. Unha ollada ás matemáticas dos inicios do século XX, agora que se conmemora o centenario da morte de Henri Poincaré, pode darnos unha idea do alcance do desafío e dos seus perigos. 

Tradución do billete «Réseaux»

Traducido ao italiano por Elena Toscano no sitio
Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale


[1] Un grafo dise orientado se cada aresta pode identificarse cun par ordenado, dotado polo tanto dunha orientación natural. Si se esquece a orientación definida pola orde dos extremos de cada aresta, o grafo trócase en non orientado.

[2] Os lectores francófonos atoparán información neste sitio web que contén as notas de diferentes cursos de Alessandra Carbone.

[3] Os termos vértice e aresta usuais na teoría de grafos son substituídos frecuentemente por e arco cando se fala de redes. Chámase  grao ou valencia dun nó ao número de nós veciños ou conectados mediante arcos (que coincide co número de arcos que parten dun nó se non hai arcos múltiples).

[4] A distancia media entre dous nós vén dada por 
 
onde n é o número de nós e dij é a distancia mínima entre dous nós. Nunha rede de tipo «mundo pequeno», esta distancia é pequena.

[5] Pensemos en Hollywood onde «case todo o mundo» traballou con Kevin Bacon.

[6] A taxa de agregación ou «clustering» dunha rede é o promedio das cantidades 

asociados aos nós v onde ev representa o número de arestas entre veciños de v e kv o grao de v. Cando se di que unha rede real ten unha alta taxa de agregación, estase a comparar a súa taxa coa taxa correspondente dunha rede aleatoria.

[7] Desde un punto de vista determinista, dise que o grao dos nós dunha rede segue unha lei de potencia se o número de nós de grao k 

onde factor e expoñente son constantes. Se se pensa no número de nós como unha variable aleatoria, falarase dunha lei de potencia se a fracción do número de nós de grao k tende á cantidade
cando k se fai cada vez máis grande. Escríbese daquela
Os grafos aleatorios seguen unha distribución de Poisson 

[8] R. Milo, S. Shen-Orr, S. Itzkovitz, N. Kashtan, D. Chklovskii, U. Alon, Motifs: Simple Building Blocks of Complex Networks. Science, 298 (2002), 824-827.

[9] Y. Artzy-Randrup, S. J. Fleishman, N Ben-Tal, L. Stone, Comment on "Network Motifs: Simple Building Blocks of Complex Networks" and "Superfamilies of Evolved and Designed Networks". Science, 305 (2004), 1107. Neste traballo, os autores constrúen unha «rede de xoguete» a partir dos nós dun retículo de 30 ¥ 30 cadrados de maneira que a probabilidade de conectar dous nós cun arco decrece coa distancia seguindo unha distribución gaussiana. Os motivos presentes na rede neuronal do verme C. elegans están tamén sobrerrepresentados nesta rede aleatoria.

[10] Da mesma maneira que a árbore de Kenyon me evoca a prosa de Kafka e a música de Bach, a lectura de epílogo do libro An introduction to systems biology de Uri Alon (publicado por  Chapman & Hall en Boca Raton no ano 2007) sobre o papel da modularidade e da probabilidade nos sistemas biolóxicos faíme pensar inevitablemente nos seus compañeiros –as árbores indistinguibles da árbore de Kenyon – e nos mosaicos de Penrose.

[11] E. Ravasz, A. L. Somera, D. A. Mongru, Z. N. Oltvai, A. L. Barabási, Hierarchical organization of modularity in Metabolic networks. Science, 297 (2002), 1551-1555.

[12] Hai autores como John Doyle que critican esta aproximación e propoñen outros modelos para explicar a arquitectura de certas redes –relacionadas adoito coa enxeñería informática e industrial– que non teñen as propiedades das redes xerárquicas. A lei de escala da taxa de agregación é daquela unha condición necesaria, pero non suficiente para a existencia dunha estrutura xerárquica. O modelo HOT («Highly Optimized Tolerance» ou «Heuristic Optimized Tradeoff») proposto por  Doyle –que intenta atopar unha maneira de optimizar a capacidade dunha rede baixo limitacións tecnolóxicas ou económicas– preténdese oposto ao de Ravasz, é dicir, «disimilar» e con «escala rica». Pero a existencia dun núcleo neste modelo é parecida á do núcleo no mosaico de Durero: aínda que a estrutura non sexa repetitiva ou autosimilar (nun sentido a precisar), iso non significa que a rede non conserve algún tipo de repetitividade ou autosimilaridade consubstancial á noción de modularidade.


Figura 5 : (a) Modelo de Barabási-Albert (b) Modelo sen escala (c) Rede ineficiente (d) Rede HOT
[13] Non estou a pensar só nas «mathematical sciences», senón tamén nas «core mathematics» repetindo as fórmulas empregadas recentemente por F. Quinn na revista Notices of the American Mathematical Society.


Créditos de figuras


Figura 1: Imaxe do artigo de H. Jeong, S. P. Mason, A.-L. Barabási et Z. N. Oltvai, Lethality and centrality in protein networks. Nature, 411, 41-42 (3 May 2001) doi:10.1038/35075138

Figura 4: Imaxe do artigo de E. Ravasz, A. L. Somera, D. A. Mongru, Z. N. Oltvai, A. L. Barabási, Hierarchical organization of modularity in Metabolic networks. Science, 297 (2002), 1551-1555.

Figura 5: Imaxe do artigo de John C. Doyle, David L. Alderson, Lun Li, Steven Low, Matthew Roughan, Stanislav Shalunov, Reiko Tanaka, Walter Willinger, The ‘‘robust yet fragile’’ nature of the Internet. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 102 (41) (2005), 14497-14502.
 

9 de febreiro de 2012

O custo do coñecemento

A política comercial das grandes editoriais científicas -que no noso país actúan cun total descaro- e os manexos -en moitos casos fraudulentos- dos lobbies están levando a unha parte significativa da comunidade matemática internacional a promover o boicot contra Elsevier e Springer.

As razóns do boicot promovido por unha treintena de matemáticos contra Elsevier poden verse nos blogs de Timothy Gower (Fields Medal 1998) e Terence Tao (Fields Medal 2006):

http://gowers.wordpress.com/

http://terrytao.wordpress.com/

O seguinte texto foi remitido polo consello de administración da Sociedade Matemática Francesa aos seus asociados en apoio ao boicot contra Springer alentado desde o sitio

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/petitions/


Sur les changements liés aux publications et à la documentation

Le passage des publications scientifiques à un système purement électronique (dit e-only) est en soi un changement structurel radical, qui, s'il paraît peu évitable à moyen terme, ne doit pas se faire à marche forcée. La communauté mathématique ne dispose pas actuellement des infrastructures de conservation ni de récupération des données électroniques. S'il s'accompagne de la part des éditeurs commerciaux de politiques d'augmentation contractuelle automatique des prix bien supérieure à l'inflation, incluant des achats de bouquets de revues groupées et instituant un chiffre d'affaires prédéterminé, ce système constituera un danger d'une exceptionnelle gravité pour le développement des mathématiques. L'importance de garantir aux bibliothèques le financement d'ouvrages et de documentation à destination des étudiants doit être soulignée. En l'état, le nouveau système envisagé ne permet pas sa pérennité, repose sur un archivage incertain et ne propose pas de politique d'accès facile aux archives électroniques. La structuration de ces archives, basée sur une entraide entre bibliothèques doit préalablement être mise en place par le RNBM [Réseau National de Bibliothèques de Mathématiques], en accord avec les bibliothécaires et les responsables scientifiques des bibliothèques.
De plus, la SMF s'inquiète de la mise en place de classements de revues. Leur utilisation engendre des confusions multiples, entre le nombre de citations d'un article et son intérêt propre, le nombre moyen de citations des articles d'une revue et le nombre de citations d'un article précis, etc. Les classements en catégories ou par rangs sont également dangereux. S'y ajoute le risque d'augmentation exagérée du prix d'une revue bien classée dans un but purement lucratif. Les deux tendances qui voient le jour pour combattre cette notion de classement, à savoir la multiplication des classements pour en diluer l'effet, ou l'établissement d'un classement qui serait officiel dans un sens à déterminer, ne rassurent pas. Enfin, la SMF réaffirme son hostilité au système auteur-payeur.
La Société Mathématique de France demande :
- au CNRS et au MESR de se saisir du problème de l'archivage ;
- à la communauté mathématique de privilégier la publication dans des revues académiques.

Conseil d'Administration de la Société Mathématique de France

4 de febreiro de 2012

A aventura xeométrica de Rafael Dieste

Texto escrito no ano 2005 e destinado ao limiar do terceiro volume das Obras Completas de Rafael Dieste, que posiblemente non sexa publicado xamais. 

In memoriam IDP 

«O matemático ao seu pesar». Nestes termos describe Rafael Dieste a súa relación coas matemáticas ao ser preguntado nun coloquio que tivo lugar na Sociedade de Cultura Valle Inclán do Ferrol en 1981. A súa resposta danos unha clave importante do seu interese pola xeometría –«Por entonces, se hablaba del problema del tiempo. El espacio estaba, como si dijéramos, un poquito desdeñado» [1]–, reiterada dunha ou outra forma nas súas últimas cartas a Eladio Dieste e Gabriel Zaid [2]. Nesas cartas, en vez dos aspectos técnicos ou epistemolóxicos de textos anteriores, aflora outra preocupación, chamémola cosmolóxica, sobre a que gravita o discurso de Rafael Dieste. Non parece unha preocupación nova, aínda que cristalice de súpeto, senón a consecuencia natural do seu interese polo espazo, ou mellor dito pola relación entre a visión do espazo, o concepto de espazo e o propio espazo físico. Percepción, comprensión e realidade, un trinomio que conforma o eixo problemático dunha parte importante da súa obra ensaística, do Nuevo tratado del paralelismo (Atlántida, Buenos Aires, 1956) ao Testamento geométrico (Ediciós do Castro, Sada, 1975), pasando por Diálogo de Manuel y David, y otros ensayos (Ediciones Teseo, Vigo, 1965) ou ¿Qué es un axioma? (Ediciones Teseo, Vigo, 1967). Desde esa perspectiva e pese ao compoñente azaroso, que Dieste chama novelesco, a «fatalidade» que o levou a ocuparse da teoría do paralelismo era inevitábel [3], pois para abordar o problema esencial dunha maneira eficaz necesitaba facelo concreto. Quizais por iso maniféstase mellor no Testamento geométrico e nas súas últimas cartas, máis claro, menos especulativo, privado de parte do aparato técnico de ensaios anteriores.

Non é difícil recoñecer a un matemático nesa maneira de proceder. A obra de Rafael Dieste mostra un gusto excepcional polas matemáticas, raro en alguén sen formación académica. Sorprende a elegancia das súas solucións a certos problemas clásicos, apreciábel nos seus textos e nas anécdotas lembradas polos seus amigos. O seu estilo, inusual nas matemáticas de hoxe, recorda ás veces os traballos de Henri Poincaré, e non só aqueles de contido filosófico como Dernières Pensées (Flammarion, Paris, 1913), senón tamén aqueloutros como Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie (Bull. Soc. Math. France, 15 (1887), 213-216) que abordan o problema da xeometría do plano. Pero non son estes os únicos aspectos que xustifican ese recoñecemento, pois hai outros talvez máis reveladores. Así, cando Rafael Dieste escribe que «tratándose de las matemáticas, “estudio” significa en gran medida “reinvención”, la cual no es posible sin espontaneidad, quiero decir, sin esa iniciativa –sujeta a ciertas condiciones, como en el arte y en el juego– a que ahora me refiero» [4], está expoñendo unha visión das matemáticas que difire pouco da que ten un matemático profesional. E calquera matemático –pero se cadra máis un xeómetra ou un topólogo– sabe da importancia da linguaxe. Unha parte fundamental do noso traballo consiste en elixir palabras de maneira que o seu sentido non só non contradiga ou faga inintelixíbel aquelo que queremos dicir, a esencia do concepto que queremos formular o da idea que queremos transmitir, senón que reflictan fielmente o concepto ou a idea na súa totalidade e sen ambigüidade. Para o leigo, as matemáticas asócianse a estraños símbolos. Usámolos e a miúdo resúltannos cómodos, pero a nosa busca nútrese de imaxes e palabras. O oficio dun matemático é demostrar, converter intuicións en verdades matemáticas, pero facelas visíbeis, naturais e simples é case sempre o máis arduo. Ninguén resume mellor a fonda preocupación de Rafael Dieste pola claridade da linguaxe que o seu sobriño Eladio Dieste cando alude –e agora citámolo textualmente– ao «desconcierto que producen expresiones que usan palabras cuyo sentido las contradicen» [5]. A protesta de ambos perante a idea dun «universo finito, pero ilimitado», segundo a célebre fórmula de Einstein, é comprensíbel [6]. Algúns aínda cren nese modelo, pero compre sinalar que Einstein renunciou a el. En 1932, tras opoñerse á idea dun universo dinámico en expansión ao longo de dez anos [7], propuxo xunto a Wilhem de Sitter un modelo dese tipo, infinito e euclidiano [8]. Sen dúbida, ese modelo seríalle máis grato a Rafael Dieste. A cosmoloxía actual contempla tres tipos de modelo de universo en expansión –«pechado», «plano» ou «aberto»–, cunha forte preferencia pola segunda opción, baseada na teoría inflacionaria, aínda que as observacións astronómicas favorecen a terceira. Desafortunadamente persiste o uso de termos relativos para referirse ao universo e a confusión entre propiedades intrínsecas e extrínsecas, locais e globais. Hai que deixar claro que as ecuacións de Einstein non determinan a topoloxía global do universo. Inclinarse por un modelo depende moitas veces do sistema de crenzas que conforma a nosa particular visión do mundo [9].

Como lle ocorre a Eladio Dieste na revisión da obra xeométrica do seu tío, a cuestión da linguaxe lévanos a outra cuestión máis persoal, relativa á postura fronte ás matemáticas. Unha vez máis é Eladio Dieste quen mostra con claridade a posición que ambos comparten: «Nosotros creemos que nuestra relación con el mundo es algo más de lo que puede lograr la “fábrica de tautologías” a que ese epílogo se refire [epílogo do libro Matemáticas e Imaginación de Kasner y Newman, citado por Eladio Dieste, onde se defende unha concepción formalista da matemática]; se parece más al acto de “ver” que a la creación de una suerte de contabilidad universal del conocimiento cuya aplicabilidad a lo real tendría que ser objeto de un nuevo y gran postulado. […] Toda esa mentalidad, que se expresa en lo que se llama positivismo lógico, preocupaba a Rafael Dieste desde su juventud y le parecía un patético error, un error filosófico y hasta un error en la estrategia del conocimiento». Ao longo do século XIX, prodúcese un cambio importante na maneira de facer matemáticas, substituíndose o método construtivo polo estudio das relacións entre obxectos asumidos como existentes. Onde Euclides formulaba un problema –«trazar unha recta por un punto que sexa paralela a unha recta dada» [10]–, afírmase agora existencia –hai unha recta con esa propiedade–. Ao mesmo tempo desenvólvense novos métodos, baseados no concepto de conxunto infinito, que dan lugar a resultados cada vez máis potentes, aínda que simultaneamente xurden paradoxos derivados de interpretacións demasiado libres desa noción. Desta maneira, a finales do século XIX, faise evidente a necesidade de abordar o problema dos fundamentos da matemática. Isto vai determinar diversas posturas respecto á existencia dos obxectos matemáticos. Hai un platonismo matemático referido ao tipo de obxectos postulados: a totalidade dos números naturais no suposto máis feble ou calquera conxunto –finito ou infinito– no suposto máis forte. Adoita escoitarse que os matemáticos en activo profesan o platonismo os días hábiles e o formalismo os festivos, é dicir, asumen como realmente existentes os obxectos cos que traballan, aínda que, ante a presión dos filósofos, non teñen reparo en aceptar que a matemática é un xogo de símbolos carentes de significado. Pero hai outro platonismo de carácter filosófico, esbozado na cita previa de Roger Penrose e invocado no texto de Eladio Dieste. As súas palabras enlazan coas dirixidas polo seu tío a Gabriel Zaid: «La gente, aun la que puede recitar alguna de las varias formulaciones del V Postulado, tiende a asimilar su posible discusión a la de un “problema particular” […] De ahí la conveniencia de hacer visible la amplitud del problema. Este no sólo afecta a la Geometría en su totalidad (así como al posible modo de entender el Entendimiento), sino también a la noción del Mundo, que incluye –o demanda– la de Fundamento». Responder a esa demanda de fundamento foi a tarefa emprendida polo movemento formalista –liderado polo gran matemático David Hilbert– a finais do século XIX. A idea de Hilbert era converter o problema da «existencia matemática». nun problema matemático, interpretándoa como «consistencia» ou «ausencia de contradición». Unha vez fixadas as regras permitidas nunha área da matemática, incluíndo calquera forma válida de razoamento matemático, a proba dun resultado reduciríase á comprobación mecánica da correcta aplicación desas regras e nese caso o resultado sería «verdadeiro» –un teorema do sistema formal considerado–. Consonte ao formalismo estrito, a matemática reduciríase a unha mera dedución formal –unha «fábrica de tautoloxías» segundo a expresión de Eladio Dieste–. Non obstante, Kurt Gödel demostrou en 1930 que o sono formalista era inalcanzábel [11]. O seu platonismo –moito máis sutil que o mostrado por outros matemáticos célebres como Georg Cantor– non será alleo à súa proba. Gödel sostén que os obxectos matemáticos poden concibirse como obxectos reais coa mesma lexitimidade que os obxectos físicos, entendendo que estes son un produto teórico das nosas percepcións sensíbeis. Aínda que a súa orixe non é perceptual, representan un aspecto da realidade obxectiva que aprehendemos por un mecanismo distinto ao mecanismo das sensacións. Segundo Gödel, non hai razón para ter menos confianza nese outro tipo de percepción –a intuición matemática– que na percepción sensíbel [12]. No prólogo do Nuevo tratado del paralelismo faise visíbel a proximidade das ideas de Dieste coas ideas de Gödel esbozadas antes. Por iso decepciona que o interese de Dieste se limitara á hipotética inconsistencia das xeometrías no euclidianas [13].

A lectura de quen remprazou a Einstein no imaxinario popular como icona científica móstranos o alcance do «erro filosófico» que preocupaba a Dieste. Co seu habitual descaro, Stephen Hawking declara: «son un positivista que cre que as teorías físicas son simplemente modelos matemáticos que construímos nós, e que é absurdo preguntarse se se corresponden coa realidade; só hai que cuestionarse se predin ou non observacións» [14]. Segundo iso, non era preciso cambiar a teoría xeocéntrica de Ptolomeo pola teoría heliocéntrica de Copérnico. De feito, como indica Antonio Escohotado no seu libro Caos y orden (Espasa, Madrid, 1999), semellante criterio houbese aconsellado substituír a astronomía copernicana pola astroloxía maia. É curioso que as declaracións de positivismo ou empirismo sirvan a miúdo de coartada á formulación de conxecturas en conflicto coa observación [15] ou á escatoloxía [16].

Chegados a este punto, quizais conveña explicar con detalle cal foi o propósito das investigacións xeométricas de Rafael Dieste, lembrando o enunciado do V postulado de Euclides. Na súa formulación usual, que non se corresponde coa orixinal de Euclides (c. 360-280 a.C.), senón con outra posterior de Proclo de Licia (410-485 d.C.), este postulado afirma que por un punto exterior a unha recta dada pasa unha única recta paralela [17]. Durante máis de dous mil anos, houbo innumerábeis intentos de probalo a partir dos outros postulados euclidianos. Esa foi tamén a pretensión de Rafael Dieste. Quede claro que ningunha desas demostracións foi correcta, nin ningunha o será xamais. Non parece útil lembrar agora a historia do V postulado de Euclides ou a orixe das xeometrías non euclidianas a mediados de século XIX. A bibliografía sobre o tema é abondosa. Chéganos con sinalar que a invención da «xeometría imaxinaria» por Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) é froito desas demostracións erróneas [18]. Por outra banda, moitas propiedades das xeometrías non euclidianas xa eran coñecidas polos que, pretendendo demostrar o V postulado, exploraron as consecuencias da súa negación [19]. Non obstante, a visión actual da xeometría hiperbólica baséase nas contribucións posteriores de Eugenio Beltrami (1835-1900), Felix Klein (1849-1925) e Henri Poincaré (1854-1912).


En principio, é fácil construír un espazo con esa xeometría. De feito, a cosmovisión grega arcaica responde a varios modelos de xeometría hiperbólica, e non euclidiana como talvez cabería esperar. Se pensamos na Terra como un disco plano, limitado por un abismo circular, entón por un punto q exterior a unha recta R pasan dúas paralelas P1 y P2 mostradas na primeira figura. En realidade, R posúe unha infinidade de paralelas P. Hai outra imaxe do universo, representada nunha célebre copa laconia conservada no Museo Vaticano e onde Atlante soporta a bóveda do ceo, que non é moi diferente da descrición de Beltrami do modelo proxectivo de Klein [20]. Desde un punto de vista matemático, é máis cómodo usar o semiplano que o disco. Se nos quedamos co semiplano, a xeometría perde o seu carácter euclidiano, pois hai infinitas rectas paralelas á recta R que pasan polo punto q. ¿Que ocorre cos outros postulados? En principio, cúmprense sempre que interpretemos literalmente as definicións euclidianas. Agora ben, algúns deses postulados teñen como propósito garantir o uso da regra e do compás. Noutra linguaxe, permítennos supoñer que o plano é homoxéneo, é dicir, que podemos pasar dun punto a outro mediante un movemento ríxido –unha combinación de translacións e rotacións– que respecta a distancia usual. Polo contrario, no semiplano, non podemos usar nin o compás, nin a regra, agás en posición horizontal. As translacións horizontais son os únicos movementos permitidos. Pero se lles engadimos dilatacións ou contraccións homotéticas –resultado de multiplicar o ancho e o alto por constantes maiores ou menores que 1–, o semiplano será homoxéneo, aínda que os novos movementos non respectan a distancia usual. O modelo de Poincaré do plano hiperbólico constrúese modificando a distancia de maneira que non varíe ao aplicarlle unha combinación de translacións horizontais e homotecias. As rectas euclidianas se transforman en semirrectas verticais ou semicircunferencias. Podémolas pensar como «rectas hiperbólicas», pois realizan o camiño máis curto entre dous puntos. Ademais o tempo necesario para chegar ao bordo do semiplano –o seu infinito– é infinito. En resumo, a distancia hiperbólica é non euclidiana, homoxénea e completa.


Polo que atangue á consistencia, convén salientar que as xeometrías euclidiana e hiperbólica son igualmente consistentes, pois ambas posúen modelos construídos a partir dos números reais. Hai outros argumentos nos traballos de Beltrami e Klein. Por outra banda, nun apéndice do seu libro Grundlagen der Geometrie [21], David Hilbert demostra que a xeometría hiperbólica elemental –à maneira dos gregos, con regra e compás, sen usar o axioma de continuidade– é consistente. Logo a «demanda de Fundamento» é satisfeita. En contra dunha idea moi estendida, o teorema de Gödel no significou ningunha crise para as matemáticas, senón só para unha determinada concepción das matemáticas. Desde a perspectiva dun matemático en activo, foi unha sorte para as matemáticas.

No ensaio antes mencionado, Eladio Dieste lembra un comentario dun matemático profesional –probabelmente o uruguaio José Luis Massera– sobre a obra xeométrica de Rafael Dieste: «Que alguien sin una sólida formación matemática haya podido escribir esto es un portento, pero un portento inútil». O cualificativo de portento parece referirse á capacidade técnica de Rafael Dieste. Efectivamente é singular, pero o verdadeiro portento está na súa capacidade para intuír o núcleo do problema. Xunto ao oficio, unha boa formación académica proporciona coñecementos importantes, case sempre orais e difíciles de acadar doutra maneira. Na época na que Dieste se interesou polo problema do paralelismo, case todos os libros sobre as xeometrías non euclidianas adoptaban o punto de vista proxectivo de Klein ou o axiomático de Hilbert. Houbo que esperar aos anos 70 do século pasado para que os traballos orixinais de Beltrami e Poincaré –que Dieste houbese apreciado– recobrarán a súa importancia nos medios universitarios. Logo non sorprende que as lecturas de Dieste –sobre todo as que máis influíron na súa concepción do paralelismo– non foran as máis recomendábeis para entender as xeometrías non euclidianas [22]. A definición axiomática de movemento formulada por David Hilbert no seu libro Grundlagen der Geometrie é moi insatisfactoria. En canto ao capítulo de cinemática do libro Anschauliche Geometrie (Springer, Berlin, 1932) de David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen [23] non fai senón confundir sobre a verdadeira natureza do movemento en xeometría. É posíbel que isto influíra na idea exposta por Dieste no Nuevo tratado del paralelismo, retomada despois no Testamento geométrico dun xeito máis matizado, sobre certa lóxica temporal do movemento xeométrico. Agora ben, desde un punto de vista xeométrico, nin a noción de movemento, nin a propiedade de homoxeneidade –que sustenta a Libre Mobilidade– presupoñen ningunha lóxica temporal, aínda que iso non signifique que poidan ou deban excluírse outras consideracións relativas ao tempo, de natureza dinámica máis que cinemática. Voltando as referencias citadas por Dieste no seu Testamento Geométrico, unha desas obras –Les Géométries de Lucien Godeaux– móstranos a natureza do erro de Dieste, resultado talvez dunha mala interpretación dunha frase desafortunada. A frase –«La géométrie euclidienne a comme groupe principal le groupe des similitudes de l’espace»– non é certa se se interpreta nun sentido literal. Pero Dieste supuxo que o grupo dos movementos ríxidos do plano era «pre-euclidiano», é dicir, previo ao uso do V postulado de Euclides, cando polo contrario ese grupo é característico da xeometría euclidiana. Que alguén sen formación académica cometa este erro é fácil. Pero a cuestión é outra: ¿como chegou Dieste a entender a importancia dos grupos de transformacións na xeometría? Velaí o portento.

No seu libro La teoría estética, teatral y literaria de Rafael Dieste (USC, Santiago de Compostela, 1997), Arturo Casas sinala un aspecto importante da obra matemática de Dieste: «la soledad de una investigación llevada a cabo al margen de estructuras académicas y universitarias, con la posterior dificultad —que es un signo fatal de la peripecia intelectual de Dieste— para hallar interlocutor». Uns poucos kilómetros separan os campos de Saint Cyprien e Argelès-sur-mer onde foran internados Rafael Dieste e Luis A. Santaló [24] en 1939. Desde entón, os seus destinos parecen estar unidos polos encontros e mais os desencontros: exilio en Arxentina, actividade docente na Plata, envío do Nuevo tratado del paralelismo e contacto a través dalgún amigo común, rexeitamento do libro que reunía Variaciones sobre Zenón de Elea e Tres investigaciones geométricas e publicación do libro Geometrías no euclidianas de Santaló pola Editorial Universitaria de Buenos Aires, intercambio de correspondencia a través de Gabriel Zaid. Varias cartas de Rafael Dieste dirixidas a Gabriel Zaid e Eladio Dieste dan idea do contido do Diálogo de los Detectives, aparentemente perdido, que debía acompañar ao Tratado Mínimo [25]. Emporiso, non hai ningún misterio no relato –en parte ditado polo propio Dieste– que nos fai Zaid [26], pois é frecuente en matemáticas que varios autores demostren un mesmo teorema, incluso ao mesmo tempo e do mesmo xeito, sen que apareza unha atribución concreta a un autor. Isto non é raro cando un resultado non se publica nas revistas especializadas e se transmite de maneira oral ou se publica en libros destinados á docencia ou á divulgación. É o que no argot profesional se coñece como folclore. A proposición XXXVI do Nuevo tratado del paralelismo e o teorema enunciado no terceiro parágrafo das Tres demostraciones del V Postulado afirman que un par de rectas asintóticas é sempre congruente con calquera outro par de rectas asintóticas. Ese mesmo teorema foi enunciado por Norden, Coxeter e Santaló nas obras citadas, publicadas entre 1953 e 1961. É unha proba máis do talento de Dieste, pero só iso. Cando se contemplan os feitos que motivan a polémica entre Rafael Dieste e Luis A. Santaló, o intercambio de cartas a través de Eladio Dieste e Gabriel Zaid, a reacción é dual. Asombra a vitalidade intelectual do exilio republicano, pero entristece un episodio que semella ser a metáfora doutros desencontros máis importantes. E nunca puido imaxinar Dieste un mellor interlocutor que Santaló.

Portento e soidade conforman a primeira parte da apreciación de Massera sobre a obra xeométrica de Dieste, pero é a inutilidade do portento o que constitúe a parte esencial da súa declaración. E isto, que podería parecer natural á vista da entrega apaixonada, case obsesiva, de Dieste na busca dunha demostración do V postulado, sorprende nun matemático. Porque cando se aborda a resolución dun problema matemático, sobre todo cando ten verdadeira substancia, non hai ningunha garantía de logralo. As teses doutorais en matemáticas no terán xamais unha duración definida pola mesma razón que é imposíbel coñecer o final dunha aventura. Que a aventura sexa intelectual non cambia nada: non podemos saber cando acabaremos e nin sequera se o faremos. E ningunha aventura guiada polo devezo de coñecemento é inútil para os seus protagonistas. No caso de Dieste, non necesitamos elucubrar sobre a utilidade persoal ou a importancia vital da súa aventura xeométrica, pois dispoñemos do seu propio testemuño, íntimo no seu epistolario, público nas súas conferencias [27]. Con todo, Massera fala doutra utilidade. Hoxe, no que semella unha volta á orixe, moitas das grandes cuestións da filosofía atópanse nos textos de física, química, bioloxía ou matemáticas. ¿Pódese concibir o pensamento actual sen citar a Erwin Schrödinger, Richard Feynman, Ilya Prigogine, Jacques Monod, Francis Crick, Henri Poincaré ou Norbert Wiener? Penso que non. Por iso, aínda lonxe do final da ciencia anunciado por Hawking, os libros de Dieste nos interpelan sobre dous temas actuais e cruciais, «Mundo» e «Entendemento». É a súa forza e pouco importa que as súas ideas concretas sobre a xeometría do plano ou a natureza do espazo físico sexan correctas ou non. Nunha época onde a aparencia de coñecemento adoita ser máis importante que o propio coñecemento, a entrega de Dieste ao estudio da xeometría é exemplar. Rafael Dieste encarna cunha obra chea de facianas distintas toda a vitalidade intelectual dunha xeración á que lle debemos cando menos o tributo da memoria.

[1] Rafael Dieste, Tres preguntas a Rafael Dieste, en Encontros e Vieiros, edición e limiar de Arturo Casas, Ediciós do Castro, Sada, 1990, pp. 213-247.

[2] Rafael Dieste, Obras completas: Epistolario, edición de Xosé Luís Axeitos, Ediciós do Castro, Sada, 1995, cartas 517, 566 e 576.

[3]  «Hace algún tiempo comencé a poner en orden algunas cosas que pensaba someter a tu juicio y, como consecuencia, me vi de pronto metido en gran navegación, que no me parecía honesto abandonar con susto y de cualquier manera… Por otra parte me parece que no hubiera podido. Era algo así como un deber con todo el sello de la fatalidad, o una fatalidad digna de confianza, con toda la transparencia moral de esos deberes no codificados, venidos imperiosamente de allá dentro. Es misterioso –y otro cualquiera se hubiese escamado– que se tratase de problemas geométricos. Yo no soñaba que pudiesen incumbirme; pero luego he ido viendo que, por lo menos me afectaban. Te contaré alguna vez el proceso –intuiciones, móviles, caminos– e incluso la novela, pues hay también en el asunto aspectos novelescos». Carta a Otero Espasandín, Cambridge, 5 de setembro de 1951, op. cit., carta 221.

[4] Carta a Juan Sebastián Dieste, Buenos Aires, 11 de marzo de 1959, op. cit., carta 310.

[5] Eladio Dieste, Sobre las investigaciones geométricas de Rafael Dieste, en Rafael Dieste. La creación como el puro amanecer constante de la palabra. Documentos A, 1 (1991), pp. 133-138.

[6] Einstein describiu un universo estático, finito e ilimitado en Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie (Preussische Akademie der Wissenschaften, 1917, pp. 142-152), pero a divulgación da súa idea debeuse a un texto posterior, publicado en 1920. A orixe da expresión de Einstein atópase na distinción entre «ilimitado» («unbegrenzt») e «infinito» («unendlich») que fixo Bernhard Riemann na sua memoria de habilitación Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, lida en 1854, pero publicada en 1868 tras a súa morte. A pesar dos matices introducidos por Riemann, trátase dunha terminoloxía desafortunada tanto se pensamos no universo coma no exemplo invocado por Riemann e Einstein. Nin a esfera bidimensional, nin os modelos xeométricos do espazo-tempo son finitos, pois conteñen rexións descritas por mapas bi ou tetradimensionais cunha infinidade de posicións distintas. Chamar «ilimitada» a unha esfera choca cunha propiedade que a distingue do plano, a saber que o largo, o ancho e o alto están limitados, razón pola que dise limitada. Para que a analoxía entre a esfera e o universo teña sentido, temos que pensar nela como un todo e nos abstermos de usar propiedades que dependan da súa inclusión nun espazo máis grande. Por fortuna, o carácter limitado da esfera é consecuencia dunha propiedade intrínseca, chamada compacidade, que implica área finita. O termo «ilimitado» fai referencia á ausencia de límite ou bordo. É outra noción relativa: o todo non ten límite. Unha esfera e un plano son distintos dunha porción limitada do plano por seren espazos completos, nos que precisamos un tempo infinito para chegar ao infinito. En realidade, Riemann e Einstein chaman «espazos finitos e ilimitados» ás versións multidimensionais das superficies compactas sen bordo.

[7] Véxase o relato da invención do Big Bang que fai J. P. Luminet no limiar L’Invention du Big-Bang do libro A. Friedmann, G. Lemaître, Essais de cosmologie (con tradución e notas de J. P. Luminet e A. Grib) publicado por Le Seuil en 1997.

[8] A. Einstein, W. de Sitter, On the Relation between the Expansion and the Mean Density of the Universe, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. XVIII (1932), pp. 213-214.

[9] O físico e matemático Roger Penrose ofrécenos un exemplo interesante de como a postura filosófica dun autor condiciona a súa concepción do universo. En desacordo co modelo estándar inflacionario, Penrose sostén que a estructura local do espazo-tempo é de tipo conforme plano, pero a súa parte espacial hiperbólica. Trátase dunha idea razoábel e suxerinte. Unha frase do seu libro Lo grande, lo pequeño y la mente humana (Cambridge University Press, Madrid, 1999) resume ben a súa postura: «Canto mellor entendemos o mundo físico, e máis profundamente sondamos as leis da natureza, máis nos parece que a realidade física evapórase ata quedarmos só coas matemáticas».

[10] Proposición 31 do Libro I dos Elementos (Editorial Gredos, Madrid, 1991).

[11] O famoso teorema de incompletitude de Gödel mostra que a consistencia dun sistema formal que conteña á aritmética elemental non é un teorema do sistema –non podemos afirmar que sexa «verdadeiro»– e daquela o sistema non é completo. Como acontece o mesmo coa negación, a consistencia é «indicíbel» se nos limitamos ás regras do sistema.

[12] Véxase Kurt Gödel, Obras completas, Alianza, Madrid, 1981.

[13] A correspondencia entre Dieste e Zaid contén varias referencias ao teorema de Gödel, un tema que tamén está presente nos traballos de Zaid sobre a obra xeométrica de Dieste. Citemos ¿Qué es un axioma? –un texto de 1968 reproducido en Rafael Dieste. La creación como el puro amanecer constante de la palabra, Documentos A, 1 (1991), 181-122–, A integridade creadora –en Lembrando a Rafael Dieste, Grial, 78 (1982), 434-436–, Dieste en los fundamentos de la geometría –en Documentos A, 1 (1991), 130-132–, Do ensaio á Xeometría –en Era un tempo de entusiasmo…, A Nosa Cultura, 15 (1995), 63-66– e Identidad y geometría en Rafael Dieste –publicado nas Actas do Congreso Rafael Dieste, Xunta de Galicia, Santiago de Compostela, 1995–.

[14] Las objeciones de un reduccionista descarado, apéndice do libro Lo grande, lo pequeño y la mente humana (Cambridge University Press, Madrid, 1999) de Roger Penrose.

[15] Na súa conferencia Inflaction: An Open and Shut Case, Hawking danos un exemplo –«Pese a eses indicios dun universo de baixa densidade e constante lambda, seguía pensando que a constante cosmolóxica era nula e a idea da ausencia de bordo implicaba que o universo debía ser pechado»–, precedido dunha xustificación –«como Eddington dixo unha vez, se a túa teoría non concorda coas observacións, non te preocupes. As observacións son probabelmente erróneas»–.

[16] Segundo Hawking, «estamos chegando ao final da busca das leis últimas da natureza». Escohotado propón relativizar esta afirmación lembrando o que dicía lord Kelvin en 1898: «Hoxe a física forma, esencialmente, un conxunto perfectamente harmonioso, ¡un conxunto practicamente acabado!». Nese momento, Poincaré impartía un curso na Sorbonne no que establecía as bases para a posterior formulación en 1904 do principio de relatividade.

[17] Euclides formula o seu postulado da seguinte maneira: «E se unha recta ao incidir sobre dous rectas fai os ángulos internos do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, daquela as dúas rectas prolongadas indefinidamente encontráranse nese mesmo lado». Aínda que o enunciado de Proclo –atribuído na literatura anglosaxona a John Playfair– é moi similar á proposición 31 do Libro I, trátase de dúas afirmacións diferentes. Se facemos unha interpretación literal do seu enunciado, ese resultado é propio da xeometría absoluta, é dicir, independente do V postulado. Non obstante, se facemos como Euclides e supoñemos que o punto é exterior á recta, entón o resultado non é certo no caso esférico.

[18] Trátase en realidade de propiedades equivalentes ao V postulado. Así, nun plano euclidiano, a suma dos ángulos dun triángulo é igual a dous rectos. Nunha esfera, a suma dos ángulos é maior que dous rectos. Unha suma menor que dous rectos corresponde ao caso da xeometría hiperbólica. En ambas xeometrías, elíptica –ou esférica– e hiperbólica, as áreas dos triángulos son proporcionais ao exceso ou defecto angular. Polo contrario, no caso da xeometría parabólica ou euclidiana, hai triángulos semellantes de área arbitraria. Outra propiedade equivalente ao postulado euclidiano é o teorema pitagórico que relaciona as lonxitudes da hipotenusa e dos dous catetos dun triángulo.

[19] Gran parte do estudio das xeometrías non euclidianas débese a autores como Girolamo Saccheri (1667-1733), Johann Heinrich Lambert (1728-1777), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ou Johann Karl Friedrich Gauss (1775-1856), anteriores aos seus inventores Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) e János Bolyai (1802-1860).

[20] Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali di Matematica pura ed applicata, II (1868), 232-255. Hai unha tradución inglesa comentada no libro Sources of Hyperbolic Geometry de John Stillwell, publicado pola American Mathematical Society en 1996.

[21] Appendix III, Foundations of geometry (Second edition, Translated from the tenth German edition by Leo Unger, Open Court, LaSalle, 1971).

[22] Dous libros, ambos recomendados por Santaló, supoñen unha excepción. O primeiro é Elementäre Einführung in die Lobarschewskische Geometrie (VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1958) de A. P. Norden, tradución do orixinal ruso de 1953. En 1963, Rafael Dieste envioulle un exemplar do Nuevo tratado ao seu autor por medio de Rafael Alberti. O segundo é Fundamentos de Geometría (Ed. Limusa-Wiley S.A., México D.F., 1971) de H. S. M. Coxeter, tradución da edición orixinal Introduction to Geometry (John Wiley & Sons, New York 1961).

[23] No Testamento geométrico, Rafael Dieste refírese á tradución inglesa Geometry and the imagination (Chelsea Publishing Company, New York, 1952).

[24] Luis A. Santaló (Girona 1911, Buenos Aires 2002) é un dos mellores matemáticos españois de todos os tempos, aínda que adoptou a nacionalidade arxentina en 1947. En 1983 recibiu o Premio Principe de Asturias de Investigación Científica.

[25] Véxase a carta 382, dirixida a Gabriel Zaid e datada o 12 de xuño de 1963 en Rianxo, nas Obras completas: Epistolario. Edición de Xosé Luís Axeitos, Ediciós do Castro, Sada, 1995.

[26] Véxanse os escritos sobre a obra diestiana citados con anterioridade.

[27] Véxase a charla na Sociedade de Cultura Valle Inclán de Ferrol citada ao comezo ou as respostas agrupadas baixo o título «O matemático ao seu pesar» no libro Entrevistas con R. Dieste (Nigra, Vigo, 1994) compilado por Marga Romero.