A harmonía e o caos

La pensée n'est qu'un éclair au milieu d'une longue nuit.

Mais c'est cet éclair qui est tout.
Henri Poincaré, La valeur de la Science

Henri Poincaré representa o pensamento maduro, prudente, dotado dunha intuición portentosa, fronte a unha imaxen da ciencia a medio camiño entre blitzkrieg e operette, viral ads e nerd nites. A súa obra marcou profundamente a física e a matemática do século XX e seguirá a facelo nos séculos vindeiros.

Hai pouco Alberto Verjovsky comentaba o moi distinto carácter de tres alumnos de Morris W. Hirsch. Ao oílo, tiven claro que, aínda que separados por un século, ese tímido alumno de aspecto lento e con grosos lentes era o verdadeiro herdeiro científico e moral de Henri Poincaré. O seu nome é William P. Thurston. Dixen «o verdadeiro herdeiro», deixándome levar por algúns lazos entre os dous, como a profunda intuición ou a vasteza da obra, que van máis aló do problema –hoxe teorema– que ligará os seus nomes por sempre. Pero a herdanza de Poincaré segue viva.

Un vello amigo dicíame non hai moito que só lle apetece reler e repensar os vellos traballos de Poincaré, unha sorte para os que –por desgracia, só de vez en cando– podemos desfrutalo. Poincaré é tamén o heroe de Alberto –ou debería dicir Escher, Douady, Riemann–. Por fortuna, nesta ocasión, non é unha voz, senón unha presenza clave no film Henri Poincaré, l’harmonie et le chaos, dirixido por Philippe Worms e producido por Vie Des Hauts Production, France Télévisions e CNRS Images, que reuniu a Nicolas Bergeron, Thierry Dauxois, Étienne Ghys, Tadashi Tokieda, Alberto Verjovsky e Cédric Villani para evocar a figura de Poincaré e a súa influencia no pensamento científico actual. Pero o que este documental ambiciona en realidade –e é esa a mellor homenaxe a Henri Poincaré– é ese «faire la part de l’harmonie et du chaos» que propón Étienne Ghys nunha secuencia. Dicía Poincaré que «a harmonía expresada polas leis matemáticas é a única realidade obxectiva, a única verdade que podemos alcanzar; […] a harmonía universal do mundo é a fonte de toda beleza». Pero pensemos que a harmonía perfecta –contemplen o mosaico de Kepler ou a árbore de Kenyon da cabeceira– é a miúdo o froito improbable do caos. 

Espero que os produtores se decidan a ofrecérmonos unha versión subtitulada en español ou inglés, pero valla como mostra unha pasaxe espléndida onde Étienne Ghys e Alberto Verjovsky nos explican a xeometría das árbores. Para os que desexen comprender mellor ese equilibrio entre harmonía e caos que nos deixa albiscar Étienne Ghys, nada mellor que contemplar o seu film Chaos.

Grazas a Dominique Garing (Vie de Hauts Production) por autorizar o subtitulado e a reprodución da pasaxe do documental Henri Poincaré, l’harmonie et le chaos e a Pablo González Sequeiros pola súa lectura.

Tout ce qui n’est pas pensée est le pur néant, puisque nous ne pouvons penser que la pensée et que tous les mots dont nous disposons pour parler des choses ne peuvent exprimer que des pensées ; dire qu’il y a autre chose que la pensée, c’est donc une affirmation qui ne peut avoir de sens. Et cependant — étrange contradiction pour ceux qui croient au temps — l’histoire géologique nous montre que la vie n’est qu’un court épisode entre deux éternités de mort, et que, dans cet épisode même, la pensée consciente n’a duré et ne durera qu’un moment. La pensée n’est qu’un éclair au milieu d’une longue nuit. Mais c’est cet éclair qui est tout. Henri Poincaré, La valeur de la science, Flammarion, 1905. Todo o que non é pensamento é pura nada, pois non podemos pensar máis que no pensamento e todas as palabras das que dispoñemos para falar das cousas non poden senón expresar pensamentos; dicir que hai outra cousa que o pensamento é unha afirmación sen sentido. E así e todo —curiosa contradición para os que cren no tempo— a historia xeolóxica móstranos que a vida non e máis que un curto episodio entre dúas eternidades de morte e que, nese mesmo episodio, o pensamento consciente non durou e non durará máis que un anaco. O pensamento non é máis que un lóstrego no medio dunha longa noite. Pero ese lóstrego éo todo. Henri Poincaré, La valeur de la science, Flammarion, 1905.

O facedor de círculos

O 22 de xaneiro de 2008 publicaba un pequeno artigo de homenaxe a dous creadores fascinados pola verdadeira beleza das matemáticas. Sirva hoxe de homenaxe renovado a Isaac Díaz Pardo e Rafael Dieste.

No verán de 1958, Rafael Dieste leva tempo «metido en gran navegación», asumida como «un deber con todo sello de la fatalidad, o una fatalidad digna de confianza, con toda la transparencia moral de esos deberes no codificados, venidos imperiosamente de allá dentro». A finais de 1956, publicara o Nuevo Tratado del Paralelismo na editorial Atlántida de Bos Aires, pero a fin da súa navegación aínda ficaba lonxe. Nos últimos días de xullo e nos primeiros de agosto, vanse cruzar no medio do océano as cartas que lle escribe ao seu amigo Isaac Díaz Pardo e as respostas deste. Nelas discuten a solución dalgúns problemas xeométricos. Velaí o deber «misterioso», de orixe «novelesca», que vai ocupar unha parte importante da vida do escritor ata a súa morte en 1981. Son escritos dun estilo alegre, cheos de humor e ambición, dun raro gusto pola matemática. Na primeira das cartas conservadas por Isaac, datada o día 31 de xullo, Dieste explica os argumentos precisos dunha proba proposta polo seu amigo. Lembra Isaac que o problema consistía en atopar o camiño máis curto para que o pastor A levara auga do río BD ao curro C. A solución de Isaac usa a semellanza dos triángulos AEB y CDE e dos triángulos BCD y BEF. A de Dieste, máis elegante, a reflexión respecto da recta BD. Na segunda das cartas, datada o día 8 de agosto, Dieste divírtese convertendo ao pastor nun testamenteiro que debe trazar triángulos da mesma extensión ao longo do río. Ao ler estas cartas comprendín que Isaac non constrúe pratos, senón círculos, coas súas fascinantes máquinas, hoxe en mans de «iñorantes e féridos e duros, imbéciles e escuros».

Matemáticas arredor dunha exposición de matemáticas

Unha fermosa exposición sobre as matemáticas (e outras cousas como a cociña) dános a ocasión de atopar algunhas trazas das matemáticas ao final do camiño.

Imaginary chegou por fin a Santiago de Compostela. Instalada na antiga Igrexa da Universidade ou da Compañía como aínda se coñece en Compostela, a mostra compostelá permaneceu aberta do 18 de marzo ao 16 de maio de 2013. Veu acompañada da exposición fotográfica O sabor das matemáticas que suscitou tanto interese nos profesionais das matemáticas como nos profanos. Comisariada pola matemática Mercedes Siles con motivo da exposición Imaginary-Málaga, o matemático Pedro Reyes ocupouse de fotografar unha ducia de pratos creados polo chef José Carlos García do Restaurante Café de París de Málaga inspirándose nalgunhas das superficies exhibidas en Imaginary. Xeometría e cociña reunidas nunha saborosa mostra.

Cando propoñía un xogo ao meu fillo e un amigo, case de casualidade, dínme conta de que o rastro das matemáticas se multiplica arredor da exposición, tanto ao longo da cidade barroca como no interior da mesma igrexa, presidida polo círculo radiante que rodea o emblema dos xesuítas, proxectándose ao infinito.

Nas capelas laterais, columnas salomónicas, adornadas con acios e follas de vide, como adoita ser habitual no barroco galego, pechan os retablos. Varios decenios antes de que os xesuítas se instalaran en Santiago  e século e medio antes de que emprenderan a renovación da antiga igrexa medieval, o pintor, grabador e matemático Albrecht Dürer describía no seu libro Underweysung der messung un curioso método para construír este tipo de columnas. 

A continuación propóñome ensinar a facer outra columna redonda, que será torsa ou curvada de maneira especial.[…] Toma nove veces en altura o grosor da columna […]. Primeiro dispón a planta coa que lle darás a forma en espiral. Cando teñas debuxado o seu alzado, traza unha liña vertical polo centro que una a abaixo e b arriba. Esta liña ab debe torcerse a modo de espiral. Faino a partir da planta da seguinte maneira. Traza arredor dun centro a un círculo do grosor da columna. Debuxa neste círculo unha liña vertical que o atravese dun extremo a outro pasando polo centro a. A metade superior desta liña, comprendida entre a circunferencia e o centro a, divídea en dúas partes polo punto c. A continuación, coloca nesta liña vertical, por debaixo do centro a, outro centro d e traza arredor un círculo que pase por arriba polo punto c e por abaixo polo punto de intersección da vertical e da circunferencia grande. Divide a recta ac en dúas partes nun punto e e traza arredor de e unha circunferencia que pase por c e a. Unha vez feito, gradúa os tres círculos numerando os puntos de 1 a 60. Comeza a numerar 1, 2, 3, 4, 5, etc., polo polo punto do interior máis preto de a. No círculo máis pequeno numera de un a seis, facendo coincidir este número co punto c. Continúa despois ao longo do círculo mediano numerando 7, 8, 9, etc., ata o dezaoito, que corresponde á metade da circunferencia. A partir do dezanove, continúa contando no círculo grande ata chegar ao corenta e dous, enriba do dezaoito, na liña vertical cead. Segue co corenta e tres no círculo mediano ata que chegues ao punto c co número cincuenta e catro. Retorna co número cincuenta e cinco ao círculo pequeno ata chegar ao sesenta no punto a. […] Coa axuda destes puntos numerados da planta vaise torcer o mastro ou eixo da columna vertical. Cando a planta estea lista, divide a columna en altura en sesenta partes numeradas, pero da seguinte maneira particular. Prolonga en horizontal a liña situada na base da columna […] ata alcanzar unha lonxitude dúas veces maior que o seu grosor. […]. Chama f ao extremo e traza unha liña oblicua ata o extremo superior da columna […]. Debuxa un arco de circunferencia hacia arriba e chama g ao punto no que corta á liña oblicua que une f coa parte superior da columna. A continuación, divide este arco en sesenta partes iguais e numéraas. Debuxa liñas desde o punto f ata a columna pasando por todos os graos do arco circular. Traza rectas horizontais desde os puntos que obteras así na columna e desígnaas cos números da planta. […]. Verás como as divisións do fuste da columna se fan máis grandes hacia arriba. Volve a debuxar por segunda vez unha liña ab no eixo da columna con todas as horizontais e números e colle un compás. Vai á planta circular que servirá para retorcer o eixo desprazando os puntos. Pon sempre un dos brazos na recta que divide os círculos pola metade e toma co outro brazo as distancias horizontais aos puntos numerados, calquera que sexa a súa orde, levándoas ao eixo ab da columna. Sitúa un brazo na horizontal marcada co número que se corresponda co da planta. Co outro brazo, marca na mesma horizontal o lugar no que deberá situarse o punto desprazado do eixo torcido. […] Verás aparecer punteado o eixo curvo da columna en espiral dun lado e outro do eixo vertical. […] Colle daquela un compás e traslada o grosor que ten a primeira columna de eixo recto a cada unha das horizontais do eixo curvo […] trazando circunferencias coas que obterás o grosor da columna. […] Aínda que a columna circular se curva, hai que seguir imaxinando nela esferas centradas nos puntos do eixo, que poden dividirse en dúas metades ao longo de secciones como antes […]. Considera e imaxina daquela que cada punto do eixo retorcido da columna é o centro dunha esfera, e debuxa arredor un círculo de diámetro igual ao grosor da columna recta no mesmo lugar. Fai iso con todos os puntos da columna en espiral e obterás o grosor da columna con toda a súa curvatura. Despois de facer isto, une todas as circunferencias mediante un trazo continuo e verás a forma da columna [1].

Como podemos ver, Dürer comeza construíndo unha curva plana que consiste en percorrer dunha maneira particular tres circunferencias tanxentes con diámetros de proporcións 3/4 e 1/4 respecto da maior.

 

Figura 1

A continuación levanta esta curva plana nunha curva alabeada substituíndo a terceira coordenada do punto de etiqueta n por

2 b tan (n arctan(9/2)/60)

onde b é o diámetro da base da columna e o ángulo 77,47º aproxima por defecto a arctan(9/2. A proporción de 9 a 1 entre a altura da columna e o diámetro da base ten que ver co canon das ordes arquitectónicas clásicas [2]. Dürer ilustra o seu método de elevación da curva plana na seguinte figura [3] (que vai acompañada dunha pequena animación):

Figura 2

Figura 3

Para rematar, Dürer debuxa unha esfera de diámetro b arredor de cada punto da curva alabeada como pode verse na figura 4.

Figura 4

Case tres séculos máis tarde, nas notas distribuídas [4] aos estudantes do curso de análise aplicada á xeometría ao longo do ano III na École centrale de travaux publiques [5], Gaspard Monge interésase por un certo tipo de superficies:

Se consideramos unha curva trazada no plano horizontal e pensamos nunha esfera de radio constante movéndose de maneira que o seu centro percorra a curva, quedará un espazo rodeado por unha certa superficie curva. Formulado isto, atopar, 1º a ecuación xeral de todas as superficies curvas xeradas desta maneira, calquera que sexa a curva plana que lles serve de eixo; 2º as ecuacións da curva característica destas superficies; 3º a da súa aresta de retroceso.   1º Como a superficie que consideramos é a envolvente dunha sucesión de esferas do mesmo radio, está claro que o seu plano tanxente coincide co plano tanxente da esfera tanxente no mesmo punto. […]  Doutra maneira. Está claro que todas as normais da envolvente cortan á curva que lle serve de eixo e que as porcións comprendidas entre a superficie e o plano horizontal son iguais ao radio das esferas […]  2º Neste caso, a característica da superficie, é dicir, a curva de contacto desta superficie con cada unha das esferas, é claramente a liña coa pendente máis grande da superficie, ou noutros termos, de todas as curvas contidas na superficie que pasan por un mesmo punto, aquela na que o ángulo que forma a tanxente no punto co plano horizontal é máis grande.  3º Como a aresta de retroceso da superficie toca en cada punto unha das súas características, as dúas curvas teñen nese punto unha tanxente común. Entón o ángulo que forma a tanxente da aresta de retroceso co plano horizontal nun punto de contacto tomado a unha certa altura é o mesmo que forma a tanxente da característica nun punto de contacto tomado á mesma altura [6].

Monge chámaas «superficies de canais», un nome que se aplica hoxe ás envolventes dunha familia de esferas con centros nunha curva alabeada. Ademais dos helicoides circulares e as columnas salomónicas de Dürer (onde o radio das esferas é constante), atopamos tamén as superficies de revolución e as cíclides de Dupin non parabólicas. Na figura 5, móstrase outra columna de Dürer onde a proporción entre o diámetro da base e a altura é igual a 1/4√3.

Figura 5

Tradución do billete «Mathématiques autour d'une exposition de  mathématiques»

no sitio Images des Mathématiques

[1] Albrecht Dürer, Géométrie. Présent., trad. de l'allemand et notes par Jeanne Peiffer. Seuil, Paris, 1995. Edición española de Jeanne Peiffer: Albrecht Dürer, De la medida. Traducción del texto original alemán de Jesús Espiño Nuño, traducción del prólogo, estudio introductorio, notas, anexos, glosario, bibliografía e índices de Juan Calatrava Escobar y revisión científico-matemática de Ana López Jiménez. Akal, Madrid, 2000.

[2] En realidade, habería que falar de canons tanto no referido á estatura das persoas como ás diferentes ordes en arquitectura. A diversidade de canons clásicos, recoñecida polo propio Vitruvio (Marcus Vitruvius Pollio, século I a.C.) no seu famoso tratado De architectura, hai que engadir a persistencia do canon medieval, chamado «de Varron» (por Marcus Terentius Varro, contemporáneo de Vitruvio), presente no traballo de Dürer por influencia da obra De sculptura (1504) de Pomponius Gauricus, véxase a edición anotada e traducida por André Chastel e Robert Klein, Libraire Droz, Genève, 1969. Atópase a mesma proporción 1/9 no tratado Medidas del Romano (1526) do español Diego de Segredo, moi influen- ciado por Dürer. A imaxe pertence a unha traducción francesa de 1550 conservada no INHA. 

[3] Orixe Gallica.

[4] Completadas co título de Applications de l’Analyse à la géométrie en 1807. Véxase a introducción L’invention d’une langue des figures de Bruno Belhoste e René Taton ás Leçons de Monge no volume L'École normale de l'an III. Leçons de mathématiques, Jean Dhombres (dir.), Éditions Rue d’Ulm, 1992.

[5] Creada o 7 vendimiario do ano III (28 de setembro de 1794) e rebautizada «École Polytechnique» a partir do 15 fructidor do ano III (1 de setembro de 1795).

[6] Gaspard Monge, Application de l’Analyse à la geómétrie. Cinquième édition, revue, corrigée et annotée par M. Liouville. Bachelier Imprimeur, Paris, 1850. Orixe Internet Archive.