Grafos

A teoría de grafos é un bo exemplo de teoría matemática pegada á realidade desde a súa orixe. O problema das pontes de Könisberg [1] resolto por Leonhard Euler en 1736, o estudo das redes eléctricas [2] por Gustav Kirchhoff en 1847 ou a enumeración dos isómeros dos hidrocarburos saturados acíclicos [3] por Arthur Cayley en 1874 ilustran ben esta idea. Pero agora vou interesarme noutra observación da vida ordinaria: en calquera grupo de seis persoas, hai sempre polo menos tres persoas que se coñecen, ou ben tres persoas que non se coñecen. Representemos cada unha destas persoas por un punto e depois unamos dous puntos cun segmento rectilíneo de color vermella se as dúas persoas se coñecen ou azul se non se coñecen.

A observación convértese agora nun teorema, chamado teorema de Ramsey, que se pode reformular da seguinte maneira: o grafo bicolor G que se obtén así [4] contén un triángulo vermello ou azul. Ou aínda mellor, ou ben o grafo vermello dos amigos A, ou ben o grafo azul dos estraños E (chamado  complementario de A) contén un triángulo.

 En realidade, Frank P. Ramsey demostrou un teorema máis xeral : para cada par de enteiros positivos m e n, existe un número enteiro R(m,n), chamado número de Ramsey [5], tal que calquera grafo completo bicolor G que teña polo menos este número de vértices contén un subgrafo completo con m vértices ou n vértices e coas arestas da mesma color. Como antes, o grafo vermello A contén un subgrafo completo con m vértices, ou ben o seu complementario azul E contén un subgrafo completo con n vértices.

A proba da nosa observación é moi simple. Fixemos un vértice calquera P. Está unido aos outros cinco vértices por arestas de color vermella ou azul. Hai polo menos tres arestas da mesma color, poñamos vermella. Os extremos A, B e C están unidos por aristas das dúas colores. Se unha das arestas (poñamos AB) é vermella, temos daquela un triángulo vermello PAB. Pola contra, se ningunha é vermella, temos un triángulo azul ABC. Observemos ademáis que esta demostración non é certa se consideramos un grupo de cinco persoas. Velaí un grafo bicolor que non contén ningún triángulo da mesma color:

Temos comprobado que R(3,3) = 6. Pero voltemos á nosa cuestión orixinal [6]: de onde provén a beleza da árbore de Kenyon?

Poderiamos pensar nas simetrías, pero non son moi numerosas: catro xiros, catro reflexións e as súas composicións. Cambiemos logo de idea e tentemos construir unha árbore da seguinte maneira. Partamos dun punto

e despois fixemos un dos catro puntos cardinais Norte, Sur, Este e Oeste, N, S, E e O en abreviatura, poñamos O. Esta elección determina unha aresta (coloreada en vermello) que podemos repetir nas tres outras direccións N, E e S :

 A elección dun segundo punto cardinal (poñamos S) permite trazar un camiño (formado por dúas arestas vermellas) e repetir a figura nas outras direccións:

Cada sucesión de puntos cardinais determina unha árbore enraizada. Por exemplo, a da figura, que crece cara ao oeste, corresponde á sucesión OSNE…

Velaquí a súa construcción:

Non é a árbore de Kenyon pois non hai máis ca unha maneira de partir cara ao infinito sen idas e voltas, namentres que hai catro maneiras diferentes de facelo na árbore de Kenyon. Tamén é menos simétrica [7]. Pero é igualmente fermosa cá árbore de Kenyon.

Semellantes a elas mesmas arredor de calquera punto, as dúas árbores son indistinguibles a pequena escala. Aventuremos unha resposta: fainas fermosas a súa natureza repetitiva.

Tradución do billete «Graphes»

no sitio Images des Mathématiques

[1] L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, 8 (1736), 128-140.


[2] G. Kirchhoff, Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Unter-suchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird. Ann. Phys. Chem., 72 (1847), 497-508.


[3] A. Cayley, On the mathematical theory of isomers. Philos. Mag., 67 (1874), 444-467.


[4] Trátase dun grafo completo onde cada par de vértices está unido por unha aresta.


[5] Véxase tamén este sitio.


[6] Proposta no primeiro billete Comezo da serie.


[7] Pois non posúe ningunha simetría como árbore enraizada e só unha reflexión horizontal se esquecemos a orixe.

Comezo

Máis aló  das súas aplicacións, hai matemáticas pegadas á realidade. Hoxe gustaríame comezar un paseo matemático arredor dun concepto da vida ordinaria. Pero o meu percorrido non será nin exhaustivo, nin obxectivo. Ao contrario, querería gardar unha mirada subxectiva.

Foi hai trece anos, nun coloquio Stony Brooks, cando esta andaina comezou para min. Nunha espléndida charla, oín falar por vez primeira dunha árbore infinita imaxinada por Richard Kenyon.

En realidade, esta figura non mostra máis que unha porción finita da árbore infinita K obtida como a unión dunha sucesión de árbores Kn onde os catro primeiros termos K1, K2, K3 e K4 están representados máis abaixo:

De onde provén a beleza da árbore de Kenyon? É a cuestión que me gustaría responder ao longo desta andaina. Non me lembro desde cando exactamente esta árbore está ligada na miña cabeza a una frase de Frank Kafka

«Sie suchte etwas und er suchte etwas,» [1]

e unha peza de Johann Sebastian Bach [2]. Pero estou certo de que, nun momento dado, quizais antes mesmo de ter comprendido, fun atopar en Los testamentos traicionados [3] a sensación que sentira cando lera este libro de Milan Kundera. Comezo agora a procura dunha xustificación.

Tradución do billete «Début de promenade»

no sitio Images des Mathématiques

[1] «Ela buscaba algo e el buscaba algo,»

[2] Contrapunctus I, Die Kunst der Fugue, BWV 1080, nunha versión de Chris Breemer para Piano Society.

[3] Milan Kundera, Los testamentos traicionados. Tusquets, 1994.

Bestiario

Sempre me gustaron os bestiarios. Quizais porque, en todas as épocas, nos devolven a imaxe – a miúdo deformada – dos tempos. Hoxe, nos matemáticos, xa podemos percibir a imaxe – posiblemente deformada – das matemáticas do século XXI.

Hai uns meses, cando preparaba outro billete, atopei por sorte o sitio Visualizar’09: Datos Públicos, Datos en público. Un enlace chamou pronto a miña atención: Bestiario.

Trátase dun novo bestiario con algunas fermosas bestas. Hoxe gustaríame falar dunha desas bestas, chamada «flow», o fluxo dos artigos da Wikipedia usados polos responsables do sitio. Son empresarios, economistas, artistas, arquitectos, enxeñeiros, mesmo matemáticos, unidos nunha compañía que quere «facer comprensible a complexidade».

Alguén poderá dicir que este fluxo ten menos interese có das publicacións serias, onde as matemáticas adoitan xogar un papel menor [1]. Pero na miña opinión, o que fai interesante esta imaxe é xustamente que un pode ver o gusto polas matemáticas e pola xeometría de xentes que non son matemáticos ou científicos. E tamén pódese entrever que as ciencias da vida, nun sentido amplo, xa substituíron ás ciencias da materia como motor das novas matemáticas.

Tradución do billete «Bestiaire»

no sitio Images des Mathématiques

[1] Velaquí o fluxo temporal da influencia das máis importantes publicacións científicas, onde as matemáticas forman parte da pequena banda azul. Cada revista represéntase mediante unha curva de ancho proporcional á súa importancia, que se mide cunha cantidade chamada Eigenfactor™. Estas curvas forman agregados, ligados polas citas mutuas, similares a árbores con pólas e raíces temáticas de diferentes cores. Sospeito que unha comparación da vida media dos artigos obrigaría a esmoucar unhas cantas pólas rosas e verdes.

Na seguinte figura, as revistas represéntanse mediante rectángulos encaixados nunha porción rectangular do plano. A área de cada rectángulo é proporcional á importancia da revista, medida polo seu Eigenfactor™. Esta representación coñécese polo seu nome en inglés «treemap». Cando pinchamos nunha revista, vemos aparecer o seu fluxo de citas (coma o da revista Annals of Mathematics) onde as frechas brancas representan as citas entrantes, as negras as citas saíntes e a lonxitude das frechas dá a medida do número de citas.

  

Para comprender mellor as dificultades que conleva a pretensión de querer medir e comparar a actividade científica, aconsello a lectura do informe Citations Statistics de Robert Adler, John Ewing e Peter Taylor e os artigos de Fabrice Planchon e Jean-Marc Schlenker neste sitio [Images des Mathématiques].

 

Bibliotecas

«Cuando se proclamó que la Biblioteca abarcaba todos los libros, la primera impresión fue de extravagante felicidad.» [1]

As bibliotecas cambiaron. Pero isto non atangue só ao uso que facemos delas. As nosas bibliotecas ampliáronse ata o punto que os seus límites parecen esvaecer. A miña biblioteca persoal non crece coma antes, quizais porque cheguei á idade na que se prefire reler. Pero grazas á Bibliothèque Nationale de France, á British Library ou á Biblioteca Nacional de España, agora teño miles de obras ao alcance dun clic.

O mesmo ocorre coas matemáticas. Aquí temos unha biblioteca magnífica, reunida ao longo de cincuenta anos, pero teño que confesar que vou cada vez menos. Nas revistas electrónicas, MathSciNet, ArXiv ou mesmo Google, atopo case todas as referencias que preciso no meu traballo decotío. Pero para o pracer – e a miúdo  para o traballo: as boas matemáticas e as matemáticas fermosas adoitan perdurar –, son outros os sitios  que se tornaron indispensables para min. Falo de Numdam, JSTOR, Projet Euclid, dos proxectos de dixitalización dos vellos documentos matemáticos que fixeron aínda máis vastas as bibliotecas matemáticas do mundo.

«Yo me atrevo a insinuar esta solución del antiguo problema: la Biblioteca es ilimitada y periódica.  Si  un eterno viajero la atravesara en cualquier dirección, comprobaría al cabo de los siglos que los mismos volúmenes se repiten en el mismo desorden (que, repetido, sería un orden: el Orden). Mi soledad se alegra con esa elegante esperanza.» [2]

Coma os personaxes de Borges, poderíamos pensar que todo isto existe ab aeterno e soñar daquela que existirá ad aeternum. Hai cinco anos, nun anexo – titulado Notes et Commentaires – do volume IX das Œuvres de Poincaré, atopei case por azar un artigo de Lorentz e nel unha frase que me levaría a renunciar a certos tópicos. O artigo orixinal fora publicado na revista Acta Mathematica. Podía facer unha copia, pero non puden evitar intentar atopar o ficheiro electrónico. Daquela descubrín una fermosa edición electrónica na páxina web do Institut Mittag-Leffler.

Con emoción, gardei o ficheiro pdf co índice do volume 38 –en memoria de Poincaré – ata o momento no que, hai algúns días, quixen pinchar no artigo de Lorentz. Non funcionou. Verifiqueino: os antigos ficheiros desapareceran e fun redirixido á páxina web de Springer. Ao final atopei o artigo de Lorentz nunha triste páxina. [3] Temo pola miña esperanza. [4]

Tradución do billete «Bibliothèques»

publicado no sitio Images de Mathématiques

[1] [2] Jorge Luis Borges, La Biblioteca de Babel, Ficciones. Alianza Editorial, Madrid, 1997. 

[3] Ignorando a vontade de Mittag-Leffler, o volume 38 datouse de 1915, cando foi impreso o 11 de marzo de 1921.

« Le présent volume était à peu près imprimé il y a 5 ans, mais sous la pression des malheurs qui pendant cette période ont frappé les différents peuples de la terre, on a cru ne devoir le publier que maintenant. » 

G. Mittat-Leffler, Au lecteur.

[4] Aproveitemos –  pola memoria futura, «wie dies sein muß» – que aínda podemos volver atrás e descubrir o que Poincaré lle explicaba ao público da Exposición Universal de 1904 :

Henri Poincaré, L'état actuel et l'avenir de la physique mathématique. Bulletin des Sciences Mathématiques, 28 (1904), 302-324.

Pratos

A elección dun oficio é a miúdo fruto do azar e da necesidade. Pero o gusto do afeccionado expresa ante todo unha vontade deliberada e permanente. Ao longo de verán de 1958, o pintor Isaac Díaz Pardo [1] e o escritor Rafael Dieste [2], exiliado na Arxentina, intercambiaron notas sen cesar dun lado ao outro do Atlántico para discutir problemas xeométricos. Nesa época, o escritor xa tiña descrito o seu interés pola xeometría como «un deber co selo da fatalidade». Algunha vez retomarei, se cadra, a súa historia, pero agora gustaríame render homenaxe ao pintor. De feito, desde 1946, a súa actividade industrial  – coa creación da Fábrica de Cerámicas do Castro en 1949 e da Fábrica de Porcelanas de Magdalena en 1955 – foi cada vez máis importante. É o período no que comezou a colaborar con outros artistas do exilio galego na Arxentina na busca de novas formas industriais, baixo a influencia das escolas Vxutemas e Bauhaus, en paralelo coa Escola de Ulm [3]. Ese será o obxectivo do Laboratorio de Formas, creado en 1963, que asumirá a tarefa de reconstruír e reabrir as antigas Reais Fábricas de Sargadelos [4], pechadas desde 1875.

Entre as pezas creadas por Isaac Díaz Pardo, eu teño predilección polos seus pratos fondos. A súa forma particular distíngueos  perfectamente doutros pratos. Que é o que os fai especiais? Pregunteille e respondeume que a súa idea era facer simplemente un bo prato para tomar o caldo... Pero se un mira o perfil dos pratos fondos do Castro, decátase da súa semellanza cunha curva notable chamada cicloide acurtada ou trocoide. Débense eses termos a Galileo (1564-1642) e Gilles de Roberval (1602-1675). Os primeiros traballos sobre as trocoides remóntanse a Albrecht Dürer (1471-1528) e sobre as cicloides a Charles de Bouelles (1475-1566) e Marin Mersenne (1588 -1648).

Unha cicloide acurtada é descrita polo movemento do pedal dunha bicicleta respecto da calzada. Unha cicloide alongada é descrita por un punto da roda dun tren respecto do alto do raíl. Se a lonxitude do pedal é igual ao radio da roda da bicicleta ou se a altura dos raís é nula, fálase simplemente de cicloide [5]. Velaí as ecuacións destas curvas:

   

x = a θ – b sin θ
y = a – b cos θ
 

De feito, os pratos de Isaac Díaz Pardo teñen outra particularidade, pois a razón a/b entre o radio da roda e a lonxitude do pedal é igual a √2. Por outra banda, desde o principio en 1949, ideou – coma a maioría das máquinas usadas en Sargadelos – as máquinas destinadas ao modelado e calibrado das pezas cerámicas, as que chamou epicicloidais. A pasta moldéase coa axuda dun trompo que xira ao redor da base superior (circular) dun molde (conoidal truncado). Preto da punta, o trompo é un cono recto que reproduce a base do prato. Máis lonxe, o trompo é recto ou curvo dependendo da natureza da ala do prato que se quere fabricar. Agradézolle moito a Isaac Díaz Pardo o debuxo que tivo a ben facer para min:

Os movementos relativos do molde o do trompo describen  cicloides esféricas. En efecto, fixado un punto no bordo do trompo, a traxectoria descrita por este punto é unha cicloide esférica ou unha cicloide esférica alongada segundo que o punto pertenza á parte recta ou curva do trompo.  A primeira curva – en realidade unha hipocicloide esférica – é descrita por un punto da roda da bicicleta cando o ciclista da voltas nun velódromo circular. A segunda cando o noso tren (de xoguete) fai o mesmo nun circuito circular. Velaí as ecuacións destas curvas:

x = (a – b cos ω + d cos ω cos qθ) cos θ + d sin θ sin qθ
y = (a – b cos ω + d cos ω cos qθ) sin θ – d cos θ sin qθ
z = sin ω (b – d cos qθ)

onde a é o radio do círculo de base, b é o do círculo móbil, d é a distancia do punto ao centro do círculo móbil e q = a/b.

A máquina cicloidal de Isaac Díaz Pardo produce pratos dunha calidade excepcional. Pero o que máis me interesa finalmente é que, como dixo o seu amigo Lipa Burd [6], «non hai máquina que non sexa xeométrica, como debe ser».

Tradución do billete «Assiettes»

publicado no sitio Images de Mathématiques

[1] Isaac Díaz Pardo – nado en Santiago de Compostela en 1920 – non é só un artista cunha obra moi diversa – pintura, debuxo, arquitectura, escultura, cerámica, tipografía – senon tamén unha das persoas que mellor encarna a innovación na Galicia do século XX como creador do Laboratorio de Formas, do grupo Sargadelos e da editorial Ediciós do Castro. 

[2] Rafael Dieste (Rianxo, 1899 – Santiago de Compostela, 1981) é unha das figuras maiores da literatura galega do século XX. A súa obra en galego e español reúne pezas dramáticas (A fiestra valdeira, Viaxe e fin de don Frontán), contos (Dos arquivos do trasno, Historias e invenciones de Félix Muriel), poesía (Rojo farol amante) e ensaio.

[3] Hochschule für Gestaltung - HfG Ulm.

[4] Nun principio, o conxunto das Reais Fábricas de Sargadelos estaba formado por unha fundición e un alto forno creados en 1788 por Antonio Raimundo Ibáñez – máis coñecido co nome de marqués de Sargadelos – destinados á produción de munición e pezas de artillería para o exercito español. Máis tarde, en 1806, comezou a producirse porcelana grazas aos xacementos de caolín descubertos preto de Sargadelos. Acusado de «afrancesado», é dicir, liberal «ás maneiras francesas», o marqués de Sargadelos foi asasinado en 1809.  Hoxe, no sitio internet de Sargadelos, outros pailáns – que desta controlan o consejo de administración – fixeron desaparecer calquera mención do asasinato do marqués e de Díaz Pardo.

[5] A cicloide é unha curva con propiedades notables:
- O tobogán máis rápido ten a forma dunha cicloide. Dise que a cicloide é una curva braquistócrona.

- Se se botan unhas goutas de auga nun prato coa forma dunha cicloide, estas chegarán ao fondo ao mesmo tempo (aínda que as súas velocidades serán diferentes). Esta propiedade exprésase dicindo que a cicloide é unha curva tautócrona.

- Un péndulo cicloidal – chamado de Huygens – é isócrono, pois o período non depende da posición inicial.

- Se se ten unha lente cicloidal – curvada para baixo como no debuxo anterior –, a caústica obtida pola reflexión de raios luminosos verticais é a imaxe pola homotecia de razón 1/2 dos dous «arcos» que resultan de substituír  θ por θ/2.

[6] Artista e publicista arxentino, de orixe ucraína e instalado en Francia, que pertence ao movemento da Arte Construida.