Matemáticas arredor dunha exposición de matemáticas

Unha fermosa exposición sobre as matemáticas (e outras cousas como a cociña) dános a ocasión de atopar algunhas trazas das matemáticas ao final do camiño.

Imaginary chegou por fin a Santiago de Compostela. Instalada na antiga Igrexa da Universidade ou da Compañía como aínda se coñece en Compostela, a mostra compostelá permaneceu aberta do 18 de marzo ao 16 de maio de 2013. Veu acompañada da exposición fotográfica O sabor das matemáticas que suscitou tanto interese nos profesionais das matemáticas como nos profanos. Comisariada pola matemática Mercedes Siles con motivo da exposición Imaginary-Málaga, o matemático Pedro Reyes ocupouse de fotografar unha ducia de pratos creados polo chef José Carlos García do Restaurante Café de París de Málaga inspirándose nalgunhas das superficies exhibidas en Imaginary. Xeometría e cociña reunidas nunha saborosa mostra.

Cando propoñía un xogo ao meu fillo e un amigo, case de casualidade, dínme conta de que o rastro das matemáticas se multiplica arredor da exposición, tanto ao longo da cidade barroca como no interior da mesma igrexa, presidida polo círculo radiante que rodea o emblema dos xesuítas, proxectándose ao infinito.

Nas capelas laterais, columnas salomónicas, adornadas con acios e follas de vide, como adoita ser habitual no barroco galego, pechan os retablos. Varios decenios antes de que os xesuítas se instalaran en Santiago  e século e medio antes de que emprenderan a renovación da antiga igrexa medieval, o pintor, grabador e matemático Albrecht Dürer describía no seu libro Underweysung der messung un curioso método para construír este tipo de columnas. 

A continuación propóñome ensinar a facer outra columna redonda, que será torsa ou curvada de maneira especial.[…] Toma nove veces en altura o grosor da columna […]. Primeiro dispón a planta coa que lle darás a forma en espiral. Cando teñas debuxado o seu alzado, traza unha liña vertical polo centro que una a abaixo e b arriba. Esta liña ab debe torcerse a modo de espiral. Faino a partir da planta da seguinte maneira. Traza arredor dun centro a un círculo do grosor da columna. Debuxa neste círculo unha liña vertical que o atravese dun extremo a outro pasando polo centro a. A metade superior desta liña, comprendida entre a circunferencia e o centro a, divídea en dúas partes polo punto c. A continuación, coloca nesta liña vertical, por debaixo do centro a, outro centro d e traza arredor un círculo que pase por arriba polo punto c e por abaixo polo punto de intersección da vertical e da circunferencia grande. Divide a recta ac en dúas partes nun punto e e traza arredor de e unha circunferencia que pase por c e a. Unha vez feito, gradúa os tres círculos numerando os puntos de 1 a 60. Comeza a numerar 1, 2, 3, 4, 5, etc., polo polo punto do interior máis preto de a. No círculo máis pequeno numera de un a seis, facendo coincidir este número co punto c. Continúa despois ao longo do círculo mediano numerando 7, 8, 9, etc., ata o dezaoito, que corresponde á metade da circunferencia. A partir do dezanove, continúa contando no círculo grande ata chegar ao corenta e dous, enriba do dezaoito, na liña vertical cead. Segue co corenta e tres no círculo mediano ata que chegues ao punto c co número cincuenta e catro. Retorna co número cincuenta e cinco ao círculo pequeno ata chegar ao sesenta no punto a. […] Coa axuda destes puntos numerados da planta vaise torcer o mastro ou eixo da columna vertical. Cando a planta estea lista, divide a columna en altura en sesenta partes numeradas, pero da seguinte maneira particular. Prolonga en horizontal a liña situada na base da columna […] ata alcanzar unha lonxitude dúas veces maior que o seu grosor. […]. Chama f ao extremo e traza unha liña oblicua ata o extremo superior da columna […]. Debuxa un arco de circunferencia hacia arriba e chama g ao punto no que corta á liña oblicua que une f coa parte superior da columna. A continuación, divide este arco en sesenta partes iguais e numéraas. Debuxa liñas desde o punto f ata a columna pasando por todos os graos do arco circular. Traza rectas horizontais desde os puntos que obteras así na columna e desígnaas cos números da planta. […]. Verás como as divisións do fuste da columna se fan máis grandes hacia arriba. Volve a debuxar por segunda vez unha liña ab no eixo da columna con todas as horizontais e números e colle un compás. Vai á planta circular que servirá para retorcer o eixo desprazando os puntos. Pon sempre un dos brazos na recta que divide os círculos pola metade e toma co outro brazo as distancias horizontais aos puntos numerados, calquera que sexa a súa orde, levándoas ao eixo ab da columna. Sitúa un brazo na horizontal marcada co número que se corresponda co da planta. Co outro brazo, marca na mesma horizontal o lugar no que deberá situarse o punto desprazado do eixo torcido. […] Verás aparecer punteado o eixo curvo da columna en espiral dun lado e outro do eixo vertical. […] Colle daquela un compás e traslada o grosor que ten a primeira columna de eixo recto a cada unha das horizontais do eixo curvo […] trazando circunferencias coas que obterás o grosor da columna. […] Aínda que a columna circular se curva, hai que seguir imaxinando nela esferas centradas nos puntos do eixo, que poden dividirse en dúas metades ao longo de secciones como antes […]. Considera e imaxina daquela que cada punto do eixo retorcido da columna é o centro dunha esfera, e debuxa arredor un círculo de diámetro igual ao grosor da columna recta no mesmo lugar. Fai iso con todos os puntos da columna en espiral e obterás o grosor da columna con toda a súa curvatura. Despois de facer isto, une todas as circunferencias mediante un trazo continuo e verás a forma da columna [1].

Como podemos ver, Dürer comeza construíndo unha curva plana que consiste en percorrer dunha maneira particular tres circunferencias tanxentes con diámetros de proporcións 3/4 e 1/4 respecto da maior.

 

Figura 1

A continuación levanta esta curva plana nunha curva alabeada substituíndo a terceira coordenada do punto de etiqueta n por

2 b tan (n arctan(9/2)/60)

onde b é o diámetro da base da columna e o ángulo 77,47º aproxima por defecto a arctan(9/2. A proporción de 9 a 1 entre a altura da columna e o diámetro da base ten que ver co canon das ordes arquitectónicas clásicas [2]. Dürer ilustra o seu método de elevación da curva plana na seguinte figura [3] (que vai acompañada dunha pequena animación):

Figura 2

Figura 3

Para rematar, Dürer debuxa unha esfera de diámetro b arredor de cada punto da curva alabeada como pode verse na figura 4.

Figura 4

Case tres séculos máis tarde, nas notas distribuídas [4] aos estudantes do curso de análise aplicada á xeometría ao longo do ano III na École centrale de travaux publiques [5], Gaspard Monge interésase por un certo tipo de superficies:

Se consideramos unha curva trazada no plano horizontal e pensamos nunha esfera de radio constante movéndose de maneira que o seu centro percorra a curva, quedará un espazo rodeado por unha certa superficie curva. Formulado isto, atopar, 1º a ecuación xeral de todas as superficies curvas xeradas desta maneira, calquera que sexa a curva plana que lles serve de eixo; 2º as ecuacións da curva característica destas superficies; 3º a da súa aresta de retroceso.   1º Como a superficie que consideramos é a envolvente dunha sucesión de esferas do mesmo radio, está claro que o seu plano tanxente coincide co plano tanxente da esfera tanxente no mesmo punto. […]  Doutra maneira. Está claro que todas as normais da envolvente cortan á curva que lle serve de eixo e que as porcións comprendidas entre a superficie e o plano horizontal son iguais ao radio das esferas […]  2º Neste caso, a característica da superficie, é dicir, a curva de contacto desta superficie con cada unha das esferas, é claramente a liña coa pendente máis grande da superficie, ou noutros termos, de todas as curvas contidas na superficie que pasan por un mesmo punto, aquela na que o ángulo que forma a tanxente no punto co plano horizontal é máis grande.  3º Como a aresta de retroceso da superficie toca en cada punto unha das súas características, as dúas curvas teñen nese punto unha tanxente común. Entón o ángulo que forma a tanxente da aresta de retroceso co plano horizontal nun punto de contacto tomado a unha certa altura é o mesmo que forma a tanxente da característica nun punto de contacto tomado á mesma altura [6].

Monge chámaas «superficies de canais», un nome que se aplica hoxe ás envolventes dunha familia de esferas con centros nunha curva alabeada. Ademais dos helicoides circulares e as columnas salomónicas de Dürer (onde o radio das esferas é constante), atopamos tamén as superficies de revolución e as cíclides de Dupin non parabólicas. Na figura 5, móstrase outra columna de Dürer onde a proporción entre o diámetro da base e a altura é igual a 1/4√3.

Figura 5

Tradución do billete «Mathématiques autour d'une exposition de  mathématiques»

no sitio Images des Mathématiques

[1] Albrecht Dürer, Géométrie. Présent., trad. de l'allemand et notes par Jeanne Peiffer. Seuil, Paris, 1995. Edición española de Jeanne Peiffer: Albrecht Dürer, De la medida. Traducción del texto original alemán de Jesús Espiño Nuño, traducción del prólogo, estudio introductorio, notas, anexos, glosario, bibliografía e índices de Juan Calatrava Escobar y revisión científico-matemática de Ana López Jiménez. Akal, Madrid, 2000.

[2] En realidade, habería que falar de canons tanto no referido á estatura das persoas como ás diferentes ordes en arquitectura. A diversidade de canons clásicos, recoñecida polo propio Vitruvio (Marcus Vitruvius Pollio, século I a.C.) no seu famoso tratado De architectura, hai que engadir a persistencia do canon medieval, chamado «de Varron» (por Marcus Terentius Varro, contemporáneo de Vitruvio), presente no traballo de Dürer por influencia da obra De sculptura (1504) de Pomponius Gauricus, véxase a edición anotada e traducida por André Chastel e Robert Klein, Libraire Droz, Genève, 1969. Atópase a mesma proporción 1/9 no tratado Medidas del Romano (1526) do español Diego de Segredo, moi influen- ciado por Dürer. A imaxe pertence a unha traducción francesa de 1550 conservada no INHA. 

[3] Orixe Gallica.

[4] Completadas co título de Applications de l’Analyse à la géométrie en 1807. Véxase a introducción L’invention d’une langue des figures de Bruno Belhoste e René Taton ás Leçons de Monge no volume L'École normale de l'an III. Leçons de mathématiques, Jean Dhombres (dir.), Éditions Rue d’Ulm, 1992.

[5] Creada o 7 vendimiario do ano III (28 de setembro de 1794) e rebautizada «École Polytechnique» a partir do 15 fructidor do ano III (1 de setembro de 1795).

[6] Gaspard Monge, Application de l’Analyse à la geómétrie. Cinquième édition, revue, corrigée et annotée par M. Liouville. Bachelier Imprimeur, Paris, 1850. Orixe Internet Archive.

Redes

Fagamos nesta ocasión unha pequena incursión na realidade, ou mellor nalgunhas ideas –que aínda non son definitivas– sobre a realidade biolóxica e física. O estudo actual dos sistemas biolóxicos caracterízase pola análise das relacións entre diferentes compoñentes biolóxicas en lugar de cada compoñente en si mesma. Inténtase comprender as funcións biolóxicas a partir dunha rede de interaccións entre moléculas, que adoita estar modelada por un grafo, orientado ou non [1], cunha combinatoria e unha topoloxía complexas. Os biólogos interésanse daquela por redes complexas como a rede de regulación xénica, que describe as relacións entre os xenes e as proteínas, a rede de interaccións proteína-proteína, que contempla as relacións entre proteínas, ou a rede metabólica, que intenta modelizar as reaccións metabólicas dun organismo [2].

Figura 1

A figura mostra a rede de interaccións do lévedo Saccharamoyces cerevisiae onde os 1870 nós representan proteínas e os 2240 arcos interaccións físicas entre estas proteínas [3].

As redes neuronais e as redes alimentarias son outros exemplos coa mesma orixe, pero hai redes sociais de actores ou de matemáticos, redes de información como as redes de citas, Internet ou a World Wide Web e redes tecnolóxicas como as redes das centrais eléctricas dun país ou Internet2 que non teñen unha raíz biolóxica. Todas estas redes posúen algunhas propiedades comúns como a existencia de «camiños curtos» en promedio [4] –o efecto «small world» ou «do mundo pequeno» [5]–, unha elevada taxa de agregación ou «clustering» [6] –de maneira que os veciños dun nó sempre teñen outros veciños– ou a distribución do grao dos nós segundo unha lei de potencia [7] –con moitos nós feblemente conectados e poucos fortemente conectados–.

En 2002, o equipo do profesor Uri Alon do Weizmann Institut of Science observou que estas redes conteñen pequenos subgrafos sobrerrepresentados, aos que chamaron motivos [8]. As súas frecuencias de aparición son máis altas que as correspondentes en grafos aleatorios coa mesma distribución de nós. Presentan tamén altas taxas de conservación entre os diferentes organismos. Velaquí os motivos sobrerrepresentados na rede neuronal do nematodo Caenorhabditis elegans (252 neuronas e 509 conexións):

Figura 2

A idea dunha función biolóxica asociada aos motivos da rede neuronal deste pequeno verme, que se converten daquela en módulos funcionais, é moi suxestiva. Pero como foi sinalado por outros autores, hai que ter coidado cos falsos positivos derivados do algoritmo de reconexión usado para xerar redes aleatorias e coa agregación local de neuronas favorecida pola estrutura espacial da rede –como acontece coa rede neuronal do verme Caenorhabditis elegans– [9]. Non obstante, a proposta dunha modularidade propia de certas redes biolóxicas (onde a agregación de módulos funcionais simples –presentes en moi diferentes especies– conduce a amplas e complexas estruturas, superpostas e fortemente vencelladas, características de cada especie) segue a ser moi atraente, cando menos para un matemático [10].

Hai diferentes modelos que se propoñen aprehender as propiedades esenciais das redes do mundo real. O modelo aleatorio de Erdös-Rényi, que se obtén conectando cada par de nós con probabilidade 0 ≤ p ≤ 1, posúe a propiedade de «camiños curtos» propia dos «mundos pequenos», pero non as outras propiedades. O modelo de Watts-Strogatz permite aumentar a taxa de agregación, pero a distribución do grao dos nós segue sendo poisoniana. Para construír un modelo cunha distribución do grao que siga unha lei de potencia, pódese usar un algoritmo, chamado modelo de Barabási-Albert, consistente en engadir un novo nó e conectalo cos existentes (enumerados i=1,...n) cunha probabilidade

que se di de conexión preferente, proporcional ao grao ki de cada nó i. Trátase de modelos, chamados  sen escala, moi robustos ou insensibles aos erros aleatorios, pero vulnerables aos ataques dirixidos contra os nós de grao alto ou  «hubs». Pero neste modelo a taxa de agregación tende a 0 cando o tamaño da rede aumenta, un feito que non se corresponde coa observación. A noción de rede xerárquica, introducida por E. Ravasz do equipo de A. L. Barabási, pretende eliminar este problema [11]. Trátase de combinar de maneira recorrente pequenos conglomerados de motivos. Velaquí un exemplo de rede xerárquica, descrita no artigo de Ravasz, onde o centro dun «módulo central» conéctase cos «nós periféricos» (pertencentes aos submódulos periféricos) de tres «módulos  periféricos» e os centros destes módulos están interconectados.

Figura3

Sinalemos que calquera subgrafo finito pode atoparse nunha veciñanza de  calquera nó de radio limitado. Non obstante, o carácter repetitivo de esta rede é menos ríxido que no caso do mosaico de Kepler-Penrose ou da árbore de Kenyon onde calquera motivo atópase de maneira fiel, é dicir tendo en conta as arestas presentes e ausentes. Nas redes xerárquicas, a taxa de agregación aproxímase a unha constante –que vale 0,606 no exemplo anterior– independente do número de nós, pero a función c(k), que mide a tasa de agregación dos nós de grao k, segue unha lei de potencia

neste caso. Ravasz e os seus coautores usan este tipo de rede para modelizar a rede metabólica do bacilo Escherichia Coli. O proceso ilustrado na seguinte figura permítelles reducila a unha rede modular e servirse da lei de escala para concluír que se trata dunha rede xerárquica [12].

Figura 4

Como dixen nun principio, trátase de ideas que non son definitivas. Pero, discutidas ou non, debuxan na miña opinión un interesante bosquexo do papel da bioloxía nas matemáticas do futuro [13]. Unha ollada ás matemáticas dos inicios do século XX, agora que se conmemora o centenario da morte de Henri Poincaré, pode darnos unha idea do alcance do desafío e dos seus perigos. 

Tradución do billete «Réseaux»

no sitio Images des Mathématiques

Traducido ao italiano por Elena Toscano no sitio

MADDMATHS! da

Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale

[1] Un grafo dise orientado se cada aresta pode identificarse cun par ordenado, dotado polo tanto dunha orientación natural. Si se esquece a orientación definida pola orde dos extremos de cada aresta, o grafo trócase en non orientado.

[2] Os lectores francófonos atoparán información neste sitio web que contén as notas de diferentes cursos de Alessandra Carbone.

[3] Os termos vértice e aresta usuais na teoría de grafos son substituídos frecuentemente por nó e arco cando se fala de redes. Chámase  grao ou valencia dun nó ao número de nós veciños ou conectados mediante arcos (que coincide co número de arcos que parten dun nó se non hai arcos múltiples).

[4] A distancia media entre dous nós vén dada por 

 

onde n é o número de nós e dij é a distancia mínima entre dous nós. Nunha rede de tipo «mundo pequeno», esta distancia é pequena.

[5] Pensemos en Hollywood onde «case todo o mundo» traballou con Kevin Bacon.

[6] A taxa de agregación ou «clustering» dunha rede é o promedio das cantidades 

asociados aos nós v onde ev representa o número de arestas entre veciños de v e kv o grao de v. Cando se di que unha rede real ten unha alta taxa de agregación, estase a comparar a súa taxa coa taxa correspondente dunha rede aleatoria.

[7] Desde un punto de vista determinista, dise que o grao dos nós dunha rede segue unha lei de potencia se o número de nós de grao k 

onde factor e expoñente son constantes. Se se pensa no número de nós como unha variable aleatoria, falarase dunha lei de potencia se a fracción do número de nós de grao k tende á cantidade

cando k se fai cada vez máis grande. Escríbese daquela

Os grafos aleatorios seguen unha distribución de Poisson 

[8] R. Milo, S. Shen-Orr, S. Itzkovitz, N. Kashtan, D. Chklovskii, U. Alon, Motifs: Simple Building Blocks of Complex Networks. Science, 298 (2002), 824-827.

[9] Y. Artzy-Randrup, S. J. Fleishman, N Ben-Tal, L. Stone, Comment on "Network Motifs: Simple Building Blocks of Complex Networks" and "Superfamilies of Evolved and Designed Networks". Science, 305 (2004), 1107. Neste traballo, os autores constrúen unha «rede de xoguete» a partir dos nós dun retículo de 30 ¥ 30 cadrados de maneira que a probabilidade de conectar dous nós cun arco decrece coa distancia seguindo unha distribución gaussiana. Os motivos presentes na rede neuronal do verme C. elegans están tamén sobrerrepresentados nesta rede aleatoria.

[10] Da mesma maneira que a árbore de Kenyon me evoca a prosa de Kafka e a música de Bach, a lectura de epílogo do libro An introduction to systems biology de Uri Alon (publicado por  Chapman & Hall en Boca Raton no ano 2007) sobre o papel da modularidade e da probabilidade nos sistemas biolóxicos faíme pensar inevitablemente nos seus compañeiros –as árbores indistinguibles da árbore de Kenyon – e nos mosaicos de Penrose.

[11] E. Ravasz, A. L. Somera, D. A. Mongru, Z. N. Oltvai, A. L. Barabási, Hierarchical organization of modularity in Metabolic networks. Science, 297 (2002), 1551-1555.

[12] Hai autores como John Doyle que critican esta aproximación e propoñen outros modelos para explicar a arquitectura de certas redes –relacionadas adoito coa enxeñería informática e industrial– que non teñen as propiedades das redes xerárquicas. A lei de escala da taxa de agregación é daquela unha condición necesaria, pero non suficiente para a existencia dunha estrutura xerárquica. O modelo HOT («Highly Optimized Tolerance» ou «Heuristic Optimized Tradeoff») proposto por  Doyle –que intenta atopar unha maneira de optimizar a capacidade dunha rede baixo limitacións tecnolóxicas ou económicas– preténdese oposto ao de Ravasz, é dicir, «disimilar» e con «escala rica». Pero a existencia dun núcleo neste modelo é parecida á do núcleo no mosaico de Durero: aínda que a estrutura non sexa repetitiva ou autosimilar (nun sentido a precisar), iso non significa que a rede non conserve algún tipo de repetitividade ou autosimilaridade consubstancial á noción de modularidade.

Figura 5 : (a) Modelo de Barabási-Albert (b) Modelo sen escala (c) Rede ineficiente (d) Rede HOT

[13] Non estou a pensar só nas «mathematical sciences», senón tamén nas «core mathematics» repetindo as fórmulas empregadas recentemente por F. Quinn na revista Notices of the American Mathematical Society.

Créditos de figuras

Figura 1: Imaxe do artigo de H. Jeong, S. P. Mason, A.-L. Barabási et Z. N. Oltvai, Lethality and centrality in protein networks. Nature, 411, 41-42 (3 May 2001) doi:10.1038/35075138

Figura 4: Imaxe do artigo de E. Ravasz, A. L. Somera, D. A. Mongru, Z. N. Oltvai, A. L. Barabási, Hierarchical organization of modularity in Metabolic networks. Science, 297 (2002), 1551-1555.

Figura 5: Imaxe do artigo de John C. Doyle, David L. Alderson, Lun Li, Steven Low, Matthew Roughan, Stanislav Shalunov, Reiko Tanaka, Walter Willinger, The ‘‘robust yet fragile’’ nature of the Internet. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 102 (41) (2005), 14497-14502.
 

Mosaicos

As sorpresas son parte do pracer do paseo. O premio Nobel de química 2011 concedido a Daniel Shechtman polo seu descubrimento dos case-cristais é unha fermosa sorpresa que aporta ademais interesantes cuestións [1]. Nun artigo moi recente, Pierre de la Harpe e Félix Kwok evocaban neste sitio o feito salientable de que «os mosaicos [...] invocados polos teóricos dos case-cristais foran descubertos antes que os propios case-cristais». Velaquí «a irrazonable eficacia das matemáticas nas ciencias naturais» por utilizar as palabras do físico Eugene Wigner. Pero o máis sorprendente é que o achado do profesor Shechtman atopa as súas fontes matemáticas algúns séculos antes.

Conveñamos que un mosaico vén dado por un número finito de polígonos tales que as súas copias por translación (ou por isometría) recubren o plano. Suponse decotío que dous polígonos se tocan sempre lado con lado. Os exemplos máis simples son os mosaicos regulares obtidos a partir dun único polígono regular. Velaquí tres mosaicos deste tipo: 

Idénticos a si mesmos arredor de calquera tesela, posúen a mesma natureza repetitiva das árbores descritas no billete anterior. Esta observación dedúcese tamén doutra propiedade importante: estes mosaicos permanecen invariantes por dúas translacións independentes e daquela abonda con coñecer unha porción finita para reconstruílos (en contra do que lles pasaba ás árbores mencionadas). Dise que son periódicos.

Xurde pois unha cuestión natural: pódense construír outros mosaicos regulares, poñamos a partir dun pentágono regular ? A imposibilidade de tal construción – ligada ao feito de que un mosaico regular só pode permanecer invariante por rotacións de orde 2, 3, 4 ou 6 – interesou a Johannes Kepler a principios do século XVII. No libro II (De Congruentia Figurarum Harmonicarum) da súa obra Harmonices Mundi [2], publicada en Linz en 1619, constrúe un mosaico cunha simetría pentagonal. De feito, Kepler mostra só unha porción do mosaico, pero ten coidado de comprobar que este motivo se prolonga nun mosaico [3]. Tomemos o motivo de Kepler (sen o pequeño erro do impresor no «monstrum»  –«duo Decagoni inter se commissi»– de enriba) : 

O mosaico Aa de Kepler é evidentemente aperiódico, no sentido de que non é respectado por ningunha translación. Pero pódese tamén construír un mosaico periódico coas mesmas teselas. Atoparase neste artigo unha explicación do interese desta discusión. 

Pero retomemos o noso camiño e reformulemos a pregunta proposta nos billetes anteriores: por que é fermoso o mosaico  de Kepler ? Comparte coa aliaxe metálica descuberta por Shectman (da que pode verse o diagrama de difracción na seguinte imaxe) unha simetría decagonal:

Esta mesma simetría aparece no famoso mosaico por dardos e papaventos construído por Roger Penrose en 1974. No seu artigo Pentaplexity [4], constrúe primeiro un mosaico mediante pentágonos, rombos, pentagramas e porcións de pentagramas:

Como antes, estas mesmas pezas serven para construír un mosaico periódico do plano. Para evitar este fenómeno, pódense engadir lingüetas e fendas. É así como Penrose obtén un exemplo de seis prototeselas aperiódicas, é dicir, que só recubren o plano de maneira aperiódica. E grazas a unha hábil división, pode reducir ese número a dous: o dardo e o papaventos. 

Coma a árbore de Kenyon, os mosaicos de Kepler e de Penrose son repetitivos [5], no sentido de que podemos atopar calquera porción finita no interior de calquera outra porción suficientemente grande [6]. Aínda que non sexan respectados por ningunha translación, aseméllanse a si mesmos arredor de calquera tesela. En realidade, estes dous mosaicos son iguais (e polo tanto a proba da anterior afirmación redúcese á bosquexada por Penrose):

Que o achado do profesor Shechtman fora precedido polo de Kepler – 363 anos antes –,  reunindo beleza e utilidade, parece prodixioso. Pero de feito un século antes, no seu segundo libro sobre a xeometría [7], Alberto Durero escribía:

«Agora, gustaríame colocar unha con outra varias figuras poligonais, de tal maneira que poidan sevir para pavimentar o chan.»

Tras os triángulos, os cadrados e os rombos, ocúpase dos pentágonos e constrúe un mosaico aperiódico mediante pentágonos e rombos cunha simetría decagonal [8]. Velaquí a porción descrita por Durero:

que se pode estender de maneira evidente:

O mosaico de Durero non parece repetitivo ou case-periódico [9], mais a imaxe mostra que a súa construción segue a ser dunha certa maneira «repetitiva».

Tradución do billete «Pavages»

no sitio Images des Mathématiques

A LER/VER TAMÉN

A. Alvarez, Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.

P. de la Harpe, F. Kwok, Prix Nobel de chimie, quasi-cristaux, périodicité et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.

E. Janvresse, T. De la Rue, Nobel de chimie et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 10 octobre 2011.

Craig S. Kaplan. A meditation on Kepler's Aa. In Bridges 2006: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 465-472, 2006.

Á. Lozano Rojo, Decorando el plano. Matematicalia, 7 (2), Junio 2011.

R. Lück, Dürer-Kepler-Penrose, the development of pentagon tilings. Materials Science and Engineering, 294-296 (2000), 263-267.

P.S. : Grazas a Marta Macho Stadler e Álvaro Lozano Rojo polos seus comentarios e tamén a Paul Vigneaux pola súa axuda. Todas as imaxes foron feitas con GeoGebra.

[1] Ao artigo de Pierre de la Harpe e Félix Kwok, gustaríame engadir o billete L’énigme des pentagones escrito por Étienne Ghys.

[2] J. Kepler, Harmonices Mundi. Lincii Austriae, Sumptibus Godofredi Tampachii, excudebat Ioannes Plancus, 1619. Versión francesa : L'harmonie du monde. Trad. et notes J. Peyroux, Librairie A. Blanchard, 1979.

[3] «Et sic consequenter, unaquaelibet forma quinquangula fert novi aliquid. Structura est laboriosissima et artificiosissima, visenda ad eandem literam Aa.» Unha traducción ao galego podería ser: «Así, durante a súa progresión, este motivo de cinco ángulos introduce continuamente novas visións. A estrutura é moi laboriosa e complicada. Véxase o diagrama etiquetado Aa »

[4] R. Penrose, Pentaplexity. Eureka, 39 (1978), 16-32. Artigo reproducido na revista Mathematical Intelligencer, 2 (1979/80), 32-37.

[5] Chámaselles tamén case-periódicos.

[6] Hai mosaicos construídos mediante as teselas de Kepler e de Penrose que non son repetitivos pois combinan motivos dos mosacios periódicos e aperiódicos. Cando introducimos fendas e lingüetas, facemos desaparecer estes mosaicos.

[7] Albrecht Dürer, Underweysung der Messung. Nürnberg, 1525. Versión francesa : Géométrie. Trad. et présentation de Jeanne Peiffer, Seuil, 1995. Versión española: De la medida. Akal, Madrid, 2000. Neste sitio pódese ver unha edición de 1538 que contén o libro De Symetria partium in rectis formis humanorum corporum de 1532.

[8] Durero propón unha segunda construción de tipo aleatorio coa axuda de «pentágonos que forman rosas».

[9] No seu artigo, Reinhard Lück afirma que o mosaico de Durero non é repetitivo. Fala dun núcleo de simetría de orde 5, pero ese tipo de núcleo atópase tamén nos mosaicos Aa de Kepler e de Penrose por dardos e papaventos.

Grafos

A teoría de grafos é un bo exemplo de teoría matemática pegada á realidade desde a súa orixe. O problema das pontes de Könisberg [1] resolto por Leonhard Euler en 1736, o estudo das redes eléctricas [2] por Gustav Kirchhoff en 1847 ou a enumeración dos isómeros dos hidrocarburos saturados acíclicos [3] por Arthur Cayley en 1874 ilustran ben esta idea. Pero agora vou interesarme noutra observación da vida ordinaria: en calquera grupo de seis persoas, hai sempre polo menos tres persoas que se coñecen, ou ben tres persoas que non se coñecen. Representemos cada unha destas persoas por un punto e depois unamos dous puntos cun segmento rectilíneo de color vermella se as dúas persoas se coñecen ou azul se non se coñecen.

A observación convértese agora nun teorema, chamado teorema de Ramsey, que se pode reformular da seguinte maneira: o grafo bicolor G que se obtén así [4] contén un triángulo vermello ou azul. Ou aínda mellor, ou ben o grafo vermello dos amigos A, ou ben o grafo azul dos estraños E (chamado  complementario de A) contén un triángulo.

 En realidade, Frank P. Ramsey demostrou un teorema máis xeral : para cada par de enteiros positivos m e n, existe un número enteiro R(m,n), chamado número de Ramsey [5], tal que calquera grafo completo bicolor G que teña polo menos este número de vértices contén un subgrafo completo con m vértices ou n vértices e coas arestas da mesma color. Como antes, o grafo vermello A contén un subgrafo completo con m vértices, ou ben o seu complementario azul E contén un subgrafo completo con n vértices.

A proba da nosa observación é moi simple. Fixemos un vértice calquera P. Está unido aos outros cinco vértices por arestas de color vermella ou azul. Hai polo menos tres arestas da mesma color, poñamos vermella. Os extremos A, B e C están unidos por aristas das dúas colores. Se unha das arestas (poñamos AB) é vermella, temos daquela un triángulo vermello PAB. Pola contra, se ningunha é vermella, temos un triángulo azul ABC. Observemos ademáis que esta demostración non é certa se consideramos un grupo de cinco persoas. Velaí un grafo bicolor que non contén ningún triángulo da mesma color:

Temos comprobado que R(3,3) = 6. Pero voltemos á nosa cuestión orixinal [6]: de onde provén a beleza da árbore de Kenyon?

Poderiamos pensar nas simetrías, pero non son moi numerosas: catro xiros, catro reflexións e as súas composicións. Cambiemos logo de idea e tentemos construir unha árbore da seguinte maneira. Partamos dun punto

e despois fixemos un dos catro puntos cardinais Norte, Sur, Este e Oeste, N, S, E e O en abreviatura, poñamos O. Esta elección determina unha aresta (coloreada en vermello) que podemos repetir nas tres outras direccións N, E e S :

 A elección dun segundo punto cardinal (poñamos S) permite trazar un camiño (formado por dúas arestas vermellas) e repetir a figura nas outras direccións:

Cada sucesión de puntos cardinais determina unha árbore enraizada. Por exemplo, a da figura, que crece cara ao oeste, corresponde á sucesión OSNE…

Velaquí a súa construcción:

Non é a árbore de Kenyon pois non hai máis ca unha maneira de partir cara ao infinito sen idas e voltas, namentres que hai catro maneiras diferentes de facelo na árbore de Kenyon. Tamén é menos simétrica [7]. Pero é igualmente fermosa cá árbore de Kenyon.

Semellantes a elas mesmas arredor de calquera punto, as dúas árbores son indistinguibles a pequena escala. Aventuremos unha resposta: fainas fermosas a súa natureza repetitiva.

Tradución do billete «Graphes»

no sitio Images des Mathématiques

[1] L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, 8 (1736), 128-140.


[2] G. Kirchhoff, Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Unter-suchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird. Ann. Phys. Chem., 72 (1847), 497-508.


[3] A. Cayley, On the mathematical theory of isomers. Philos. Mag., 67 (1874), 444-467.


[4] Trátase dun grafo completo onde cada par de vértices está unido por unha aresta.


[5] Véxase tamén este sitio.


[6] Proposta no primeiro billete Comezo da serie.


[7] Pois non posúe ningunha simetría como árbore enraizada e só unha reflexión horizontal se esquecemos a orixe.