As sorpresas son parte do pracer do paseo. O premio Nobel de química 2011 concedido a Daniel Shechtman polo seu descubrimento dos case-cristais é unha fermosa sorpresa que aporta ademais interesantes cuestións [1]. Nun artigo moi recente, Pierre de la Harpe e Félix Kwok evocaban neste sitio o feito salientable de que «os mosaicos [...] invocados polos teóricos dos case-cristais foran descubertos antes que os propios case-cristais». Velaquí «a irrazonable eficacia das matemáticas nas ciencias naturais» por utilizar as palabras do físico Eugene Wigner. Pero o máis sorprendente é que o achado do profesor Shechtman atopa as súas fontes matemáticas algúns séculos antes.
Conveñamos que un mosaico vén dado por un número finito de polígonos tales que as súas copias por translación (ou por isometría) recubren o plano. Suponse decotío que dous polígonos se tocan sempre lado con lado. Os exemplos máis simples son os mosaicos regulares obtidos a partir dun único polígono regular. Velaquí tres mosaicos deste tipo:
Conveñamos que un mosaico vén dado por un número finito de polígonos tales que as súas copias por translación (ou por isometría) recubren o plano. Suponse decotío que dous polígonos se tocan sempre lado con lado. Os exemplos máis simples son os mosaicos regulares obtidos a partir dun único polígono regular. Velaquí tres mosaicos deste tipo:
Idénticos a si mesmos arredor de calquera tesela, posúen a mesma natureza repetitiva das árbores descritas no billete anterior. Esta observación dedúcese tamén doutra propiedade importante: estes mosaicos permanecen invariantes por dúas translacións independentes e daquela abonda con coñecer unha porción finita para reconstruílos (en contra do que lles pasaba ás árbores mencionadas). Dise que son periódicos.
Xurde pois unha cuestión natural: pódense construír outros mosaicos regulares, poñamos a partir dun pentágono regular ? A imposibilidade de tal construción – ligada ao feito de que un mosaico regular só pode permanecer invariante por rotacións de orde 2, 3, 4 ou 6 – interesou a Johannes Kepler a principios do século XVII. No libro II (De Congruentia Figurarum Harmonicarum) da súa obra Harmonices Mundi [2], publicada en Linz en 1619, constrúe un mosaico cunha simetría pentagonal. De feito, Kepler mostra só unha porción do mosaico, pero ten coidado de comprobar que este motivo se prolonga nun mosaico [3]. Tomemos o motivo de Kepler (sen o pequeño erro do impresor no «monstrum» –«duo Decagoni inter se commissi»– de enriba) :
O mosaico Aa de Kepler é evidentemente aperiódico, no sentido de que non é respectado por ningunha translación. Pero pódese tamén construír un mosaico periódico coas mesmas teselas. Atoparase neste artigo unha explicación do interese desta discusión.
Pero retomemos o noso camiño e reformulemos a pregunta proposta nos billetes anteriores: por que é fermoso o mosaico de Kepler ? Comparte coa aliaxe metálica descuberta por Shectman (da que pode verse o diagrama de difracción na seguinte imaxe) unha simetría decagonal:
Esta mesma simetría aparece no famoso mosaico por dardos e papaventos construído por Roger Penrose en 1974. No seu artigo Pentaplexity [4], constrúe primeiro un mosaico mediante pentágonos, rombos, pentagramas e porcións de pentagramas:
Como antes, estas mesmas pezas serven para construír un mosaico periódico do plano. Para evitar este fenómeno, pódense engadir lingüetas e fendas. É así como Penrose obtén un exemplo de seis prototeselas aperiódicas, é dicir, que só recubren o plano de maneira aperiódica. E grazas a unha hábil división, pode reducir ese número a dous: o dardo e o papaventos.
Coma a árbore de Kenyon, os mosaicos de Kepler e de Penrose son repetitivos [5], no sentido de que podemos atopar calquera porción finita no interior de calquera outra porción suficientemente grande [6]. Aínda que non sexan respectados por ningunha translación, aseméllanse a si mesmos arredor de calquera tesela. En realidade, estes dous mosaicos son iguais (e polo tanto a proba da anterior afirmación redúcese á bosquexada por Penrose):
Que o achado do profesor Shechtman fora precedido polo de Kepler – 363 anos antes –, reunindo beleza e utilidade, parece prodixioso. Pero de feito un século antes, no seu segundo libro sobre a xeometría [7], Alberto Durero escribía:
«Agora, gustaríame colocar unha con outra varias figuras poligonais, de tal maneira que poidan sevir para pavimentar o chan.»
Tras os triángulos, os cadrados e os rombos, ocúpase dos pentágonos e constrúe un mosaico aperiódico mediante pentágonos e rombos cunha simetría decagonal [8]. Velaquí a porción descrita por Durero:
O mosaico de Durero non parece repetitivo ou case-periódico [9], mais a imaxe mostra que a súa construción segue a ser dunha certa maneira «repetitiva».
A LER/VER TAMÉN
A. Alvarez, Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.
P. de la Harpe, F. Kwok, Prix Nobel de chimie, quasi-cristaux, périodicité et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.
E. Janvresse, T. De la Rue, Nobel de chimie et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 10 octobre 2011.
Craig S. Kaplan. A meditation on Kepler's Aa. In Bridges 2006: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 465-472, 2006.
Á. Lozano Rojo, Decorando el plano. Matematicalia, 7 (2), Junio 2011.
R. Lück, Dürer-Kepler-Penrose, the development of pentagon tilings. Materials Science and Engineering, 294-296 (2000), 263-267.
P. de la Harpe, F. Kwok, Prix Nobel de chimie, quasi-cristaux, périodicité et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.
E. Janvresse, T. De la Rue, Nobel de chimie et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 10 octobre 2011.
Craig S. Kaplan. A meditation on Kepler's Aa. In Bridges 2006: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 465-472, 2006.
Á. Lozano Rojo, Decorando el plano. Matematicalia, 7 (2), Junio 2011.
R. Lück, Dürer-Kepler-Penrose, the development of pentagon tilings. Materials Science and Engineering, 294-296 (2000), 263-267.
P.S. : Grazas a Marta Macho Stadler e Álvaro Lozano Rojo polos seus comentarios e tamén a Paul Vigneaux pola súa axuda. Todas as imaxes foron feitas con GeoGebra.
[1] Ao artigo de Pierre de la Harpe e Félix Kwok, gustaríame engadir o billete L’énigme des pentagones escrito por Étienne Ghys.
[2] J. Kepler, Harmonices Mundi. Lincii Austriae, Sumptibus Godofredi Tampachii, excudebat Ioannes Plancus, 1619. Versión francesa : L'harmonie du monde. Trad. et notes J. Peyroux, Librairie A. Blanchard, 1979.
[3] «Et sic consequenter, unaquaelibet forma quinquangula fert novi aliquid. Structura est laboriosissima et artificiosissima, visenda ad eandem literam Aa.» Unha traducción ao galego podería ser: «Así, durante a súa progresión, este motivo de cinco ángulos introduce continuamente novas visións. A estrutura é moi laboriosa e complicada. Véxase o diagrama etiquetado Aa »
[4] R. Penrose, Pentaplexity. Eureka, 39 (1978), 16-32. Artigo reproducido na revista Mathematical Intelligencer, 2 (1979/80), 32-37.
[5] Chámaselles tamén case-periódicos.
[6] Hai mosaicos construídos mediante as teselas de Kepler e de Penrose que non son repetitivos pois combinan motivos dos mosacios periódicos e aperiódicos. Cando introducimos fendas e lingüetas, facemos desaparecer estes mosaicos.
[7] Albrecht Dürer, Underweysung der Messung. Nürnberg, 1525. Versión francesa : Géométrie. Trad. et présentation de Jeanne Peiffer, Seuil, 1995. Versión española: De la medida. Akal, Madrid, 2000. Neste sitio pódese ver unha edición de 1538 que contén o libro De Symetria partium in rectis formis humanorum corporum de 1532.
[8] Durero propón unha segunda construción de tipo aleatorio coa axuda de «pentágonos que forman rosas».
[9] No seu artigo, Reinhard Lück afirma que o mosaico de Durero non é repetitivo. Fala dun núcleo de simetría de orde 5, pero ese tipo de núcleo atópase tamén nos mosaicos Aa de Kepler e de Penrose por dardos e papaventos.
[2] J. Kepler, Harmonices Mundi. Lincii Austriae, Sumptibus Godofredi Tampachii, excudebat Ioannes Plancus, 1619. Versión francesa : L'harmonie du monde. Trad. et notes J. Peyroux, Librairie A. Blanchard, 1979.
[3] «Et sic consequenter, unaquaelibet forma quinquangula fert novi aliquid. Structura est laboriosissima et artificiosissima, visenda ad eandem literam Aa.» Unha traducción ao galego podería ser: «Así, durante a súa progresión, este motivo de cinco ángulos introduce continuamente novas visións. A estrutura é moi laboriosa e complicada. Véxase o diagrama etiquetado Aa »
[4] R. Penrose, Pentaplexity. Eureka, 39 (1978), 16-32. Artigo reproducido na revista Mathematical Intelligencer, 2 (1979/80), 32-37.
[5] Chámaselles tamén case-periódicos.
[6] Hai mosaicos construídos mediante as teselas de Kepler e de Penrose que non son repetitivos pois combinan motivos dos mosacios periódicos e aperiódicos. Cando introducimos fendas e lingüetas, facemos desaparecer estes mosaicos.
[7] Albrecht Dürer, Underweysung der Messung. Nürnberg, 1525. Versión francesa : Géométrie. Trad. et présentation de Jeanne Peiffer, Seuil, 1995. Versión española: De la medida. Akal, Madrid, 2000. Neste sitio pódese ver unha edición de 1538 que contén o libro De Symetria partium in rectis formis humanorum corporum de 1532.
[8] Durero propón unha segunda construción de tipo aleatorio coa axuda de «pentágonos que forman rosas».
[9] No seu artigo, Reinhard Lück afirma que o mosaico de Durero non é repetitivo. Fala dun núcleo de simetría de orde 5, pero ese tipo de núcleo atópase tamén nos mosaicos Aa de Kepler e de Penrose por dardos e papaventos.
