Unha fermosa exposición sobre as matemáticas (e outras cousas como a cociña) dános a ocasión de atopar algunhas trazas das matemáticas ao final do camiño. Imaginary chegou por fin a Santiago de Compostela. Instalada na antiga Igrexa da Universidade ou da Compañía como aínda se coñece en Compostela, a mostra compostelá permaneceu aberta do 18 de marzo ao 16 de maio de 2013. Veu acompañada da exposición fotográfica O sabor das matemáticas que suscitou tanto interese nos profesionais das matemáticas como nos profanos. Comisariada pola matemática Mercedes Siles con motivo da exposición Imaginary-Málaga, o matemático Pedro Reyes ocupouse de fotografar unha ducia de pratos creados polo chef José Carlos García do Restaurante Café de París de Málaga inspirándose nalgunhas das superficies exhibidas en Imaginary. Xeometría e cociña reunidas nunha saborosa mostra.
Cando propoñía un xogo ao meu fillo e un amigo, case de casualidade, dínme conta de que o rastro das matemáticas se multiplica arredor da exposición, tanto ao longo da cidade barroca como no interior da mesma igrexa, presidida polo círculo radiante que rodea o emblema dos xesuítas, proxectándose ao infinito.
Nas capelas laterais, columnas salomónicas, adornadas con acios e follas de vide, como adoita ser habitual no barroco galego, pechan os retablos. Varios decenios antes de que os xesuítas se instalaran en Santiago e século e medio antes de que emprenderan a renovación da antiga igrexa medieval, o pintor, grabador e matemático Albrecht Dürer describía no seu libro Underweysung der messung un curioso método para construír este tipo de columnas.
| A continuación propóñome ensinar a facer outra columna redonda, que será torsa ou curvada de maneira especial.[…] Toma nove veces en altura o grosor da columna […]. Primeiro dispón a planta coa que lle darás a forma en espiral. Cando teñas debuxado o seu alzado, traza unha liña vertical polo centro que una a abaixo e b arriba. Esta liña ab debe torcerse a modo de espiral. Faino a partir da planta da seguinte maneira. Traza arredor dun centro a un círculo do grosor da columna. Debuxa neste círculo unha liña vertical que o atravese dun extremo a outro pasando polo centro a. A metade superior desta liña, comprendida entre a circunferencia e o centro a, divídea en dúas partes polo punto c. A continuación, coloca nesta liña vertical, por debaixo do centro a, outro centro d e traza arredor un círculo que pase por arriba polo punto c e por abaixo polo punto de intersección da vertical e da circunferencia grande. Divide a recta ac en dúas partes nun punto e e traza arredor de e unha circunferencia que pase por c e a. Unha vez feito, gradúa os tres círculos numerando os puntos de 1 a 60. Comeza a numerar 1, 2, 3, 4, 5, etc., polo polo punto do interior máis preto de a. No círculo máis pequeno numera de un a seis, facendo coincidir este número co punto c. Continúa despois ao longo do círculo mediano numerando 7, 8, 9, etc., ata o dezaoito, que corresponde á metade da circunferencia. A partir do dezanove, continúa contando no círculo grande ata chegar ao corenta e dous, enriba do dezaoito, na liña vertical cead. Segue co corenta e tres no círculo mediano ata que chegues ao punto c co número cincuenta e catro. Retorna co número cincuenta e cinco ao círculo pequeno ata chegar ao sesenta no punto a. […] Coa axuda destes puntos numerados da planta vaise torcer o mastro ou eixo da columna vertical. Cando a planta estea lista, divide a columna en altura en sesenta partes numeradas, pero da seguinte maneira particular. Prolonga en horizontal a liña situada na base da columna […] ata alcanzar unha lonxitude dúas veces maior que o seu grosor. […]. Chama f ao extremo e traza unha liña oblicua ata o extremo superior da columna […]. Debuxa un arco de circunferencia hacia arriba e chama g ao punto no que corta á liña oblicua que une f coa parte superior da columna. A continuación, divide este arco en sesenta partes iguais e numéraas. Debuxa liñas desde o punto f ata a columna pasando por todos os graos do arco circular. Traza rectas horizontais desde os puntos que obteras así na columna e desígnaas cos números da planta. […]. Verás como as divisións do fuste da columna se fan máis grandes hacia arriba. Volve a debuxar por segunda vez unha liña ab no eixo da columna con todas as horizontais e números e colle un compás. Vai á planta circular que servirá para retorcer o eixo desprazando os puntos. Pon sempre un dos brazos na recta que divide os círculos pola metade e toma co outro brazo as distancias horizontais aos puntos numerados, calquera que sexa a súa orde, levándoas ao eixo ab da columna. Sitúa un brazo na horizontal marcada co número que se corresponda co da planta. Co outro brazo, marca na mesma horizontal o lugar no que deberá situarse o punto desprazado do eixo torcido. […] Verás aparecer punteado o eixo curvo da columna en espiral dun lado e outro do eixo vertical. […] Colle daquela un compás e traslada o grosor que ten a primeira columna de eixo recto a cada unha das horizontais do eixo curvo […] trazando circunferencias coas que obterás o grosor da columna. […] Aínda que a columna circular se curva, hai que seguir imaxinando nela esferas centradas nos puntos do eixo, que poden dividirse en dúas metades ao longo de secciones como antes […]. Considera e imaxina daquela que cada punto do eixo retorcido da columna é o centro dunha esfera, e debuxa arredor un círculo de diámetro igual ao grosor da columna recta no mesmo lugar. Fai iso con todos os puntos da columna en espiral e obterás o grosor da columna con toda a súa curvatura. Despois de facer isto, une todas as circunferencias mediante un trazo continuo e verás a forma da columna [1]. |
Como podemos ver, Dürer comeza construíndo unha curva plana que consiste en percorrer dunha maneira particular tres circunferencias tanxentes con diámetros de proporcións 3/4 e 1/4 respecto da maior.
 |
| Figura 1 |
A continuación levanta esta curva plana nunha curva alabeada substituíndo a terceira coordenada do punto de etiqueta n por
2 b tan (n arctan(9/2)/60)
onde b é o diámetro da base da columna e o ángulo 77,47º aproxima por defecto a arctan(9/2. A proporción de 9 a 1 entre a altura da columna e o diámetro da base ten que ver co canon das ordes arquitectónicas clásicas [2]. Dürer ilustra o seu método de elevación da curva plana na seguinte figura [3] (que vai acompañada dunha pequena animación):
 |
| Figura 2 |
 |
| Figura 3 |
Para rematar, Dürer debuxa unha esfera de diámetro b arredor de cada punto da curva alabeada como pode verse na figura 4.
 |
| Figura 4 |
Case tres séculos máis tarde, nas notas distribuídas [4] aos estudantes do curso de análise aplicada á xeometría ao longo do ano III na École centrale de travaux publiques [5], Gaspard Monge interésase por un certo tipo de superficies:
| Se
consideramos unha curva trazada no plano horizontal e pensamos nunha
esfera de radio constante movéndose de maneira que o seu centro percorra
a curva, quedará un espazo rodeado por unha certa superficie curva.
Formulado isto, atopar, 1º a ecuación xeral de todas as superficies
curvas xeradas desta maneira, calquera que sexa a curva plana que lles
serve de eixo; 2º as ecuacións da curva característica destas
superficies; 3º a da súa aresta de retroceso. 1º Como a superficie que consideramos é a envolvente dunha sucesión de esferas do mesmo radio, está claro que o seu plano tanxente coincide co plano tanxente da esfera tanxente no mesmo punto. […] Doutra maneira. Está claro que todas as normais da envolvente cortan á curva que lle serve de eixo e que as porcións comprendidas entre a superficie e o plano horizontal son iguais ao radio das esferas […] 2º Neste caso, a característica da superficie, é dicir, a curva de contacto desta superficie con cada unha das esferas, é claramente a liña coa pendente máis grande da superficie, ou noutros termos, de todas as curvas contidas na superficie que pasan por un mesmo punto, aquela na que o ángulo que forma a tanxente no punto co plano horizontal é máis grande. 3º Como a aresta de retroceso da superficie toca en cada punto unha das súas características, as dúas curvas teñen nese punto unha tanxente común. Entón o ángulo que forma a tanxente da aresta de retroceso co plano horizontal nun punto de contacto tomado a unha certa altura é o mesmo que forma a tanxente da característica nun punto de contacto tomado á mesma altura [6]. |
Monge chámaas «superficies de canais», un nome que se aplica hoxe ás envolventes dunha familia de esferas con centros nunha curva alabeada. Ademais dos helicoides circulares e as columnas salomónicas de Dürer (onde o radio das esferas é constante), atopamos tamén as superficies de revolución e as cíclides de Dupin non parabólicas. Na figura 5, móstrase outra columna de Dürer onde a proporción entre o diámetro da base e a altura é igual a 1/4√3.
 |
| Figura 5 |
Tradución do billete «Mathématiques autour d'une exposition de mathématiques»
no sitio Images des Mathématiques
[1] Albrecht Dürer, Géométrie. Présent., trad. de l'allemand et notes par Jeanne Peiffer. Seuil, Paris, 1995. Edición española de Jeanne Peiffer: Albrecht Dürer, De la medida. Traducción del texto original alemán de Jesús Espiño Nuño, traducción del prólogo, estudio introductorio, notas, anexos, glosario, bibliografía e índices de Juan Calatrava Escobar y revisión científico-matemática de Ana López Jiménez. Akal, Madrid, 2000.
[2] En realidade, habería que falar de canons tanto no referido á estatura das persoas como ás diferentes ordes en arquitectura. A diversidade de canons clásicos, recoñecida polo propio Vitruvio (Marcus Vitruvius Pollio, século I a.C.) no seu famoso tratado De architectura, hai que engadir a persistencia do canon medieval, chamado «de Varron» (por Marcus Terentius Varro, contemporáneo de Vitruvio), presente no traballo de Dürer por influencia da obra De sculptura (1504) de Pomponius Gauricus, véxase a edición anotada e traducida por André Chastel e Robert Klein, Libraire Droz, Genève, 1969. Atópase a mesma proporción 1/9 no tratado Medidas del Romano (1526) do español Diego de Segredo, moi influen- ciado por Dürer. A imaxe pertence a unha traducción francesa de 1550 conservada no INHA.
[3] Orixe Gallica.
[4] Completadas co título de Applications de l’Analyse à la géométrie en 1807. Véxase a introducción L’invention d’une langue des figures de Bruno Belhoste e René Taton ás Leçons de Monge no volume L'École normale de l'an III. Leçons de mathématiques, Jean Dhombres (dir.), Éditions Rue d’Ulm, 1992.
[5] Creada o 7 vendimiario do ano III (28 de setembro de 1794) e rebautizada «École Polytechnique» a partir do 15 fructidor do ano III (1 de setembro de 1795).
[6] Gaspard Monge, Application de l’Analyse à la geómétrie. Cinquième édition, revue, corrigée et annotée par M. Liouville. Bachelier Imprimeur, Paris, 1850. Orixe Internet Archive.
