Outra xeometría

Voltemos a Bonaval e á súa escaleira de caracol. Desde o alto, veremos que a cidade está poboada por un universo de esferas. Pero, de súpeto, se miramos máis aló do xardín, sorprenderanos a inusual xeometría do remate da fachada de Santa Clara. Co seu aspecto de retablo pétreo, esta obra de Simón Rodríguez é un dos edificios máis singulares do barroco español [1]. De feito, é unha falsa fachada, que non dá a acceso á igrexa de Santa Clara, senón á portería do convento e a un pequeno xardín tras o que se esconde a verdadeira fachada, moito máis sinxela. É coma se o carácter mesmo de fachada pano outorgaralle un profundo sentido teatral, un trazo que provén en realidade dun audaz e orixinal exercicio formal no que os elementos decorativos van gañando complexidade e forza plástica a medida que se elevan ata culminar nun curioso frontón dobre rematado por tres insólitos cilindros, que lle dan a este singular decorado un insólito aire de modernidade [2].

Como recordabamos na anterior entrada, a xeometría da superficie deste particular remate é euclidiana, aínda que o camiño máis curto entre dous puntos non sexa realizado por unha recta, senón por un arco de hélice, tamén chamado loxodrómico, xa que forma un ángulo constante con calquera circunferencia directriz e calquera recta xeratriz. Pero basta desenrolar a superficie do cilindro ao xeito dun mapa para converter a hélice nunha verdadeira recta e convencérmonos de que, por un punto exterior a unha curva loxodrómica, só pasa outra curva loxodrómica paralela.

Pola contra, se pensamos na esfera, habemos de percorrer un arco de circunferencia máxima para unir dous puntos seguindo o camiño máis curto. Pero, por un punto exterior a unha destas liñas xeodésicas –e agora o nome está claramente xustificado–, non pasa ningunha paralela, pois dúas circunferencias de radio máximo sempre se cortan. Ou como ben sabían os gregos, moito antes do nacemento da xeometría riemanniana, a suma dos ángulos dun triángulo esférico é sempre maior que dous rectos, mentres que a suma dos ángulos dun triángulo cilíndrico é igual a dous rectos.

Pese ás diferenzas entre unha esfera e un cilindro, cando escribimos ás súas ecuacións en coordenadas cartesianas,

x² + y²  + z² = 1   e   x² + y² = 1,

observamos que as dúas superficies están definidas por un polinomio de grao 2. Dicimos que esferas e cilindros son cuádricas ou superficies de segunda orde. En 1887, un Henri Poincaré aínda novo mostraba [3] que, máis aló da terceira xeometría de Lobatchevski, hai unha cuarta xeometría [4], moito máis insólita que os nosos singulares remates rodeados de esferas.

Hai varias xeometrías cuadráticas, xa que hai varios tipos de superficies de segunda orde.  Se a superficie fundamental é un elipsoide, a xeometría cuadrática non difire da xeometría de Riemann.  Se a superficie fundamental é un hiperboloide de dúas follas, a xeometría cuadrática non difire da de Lobatchevski.  Se esta superficie é un paraboloide elíptico, a xeometría cuadrática redúcese á de Euclides; é un caso límite dos dous casos anteriores.  Está claro que non esgotamos a lista das xeometrías cuadráticas, pois non consideramos nin o hiperboloide dunha folla, nin as súas numerosas dexeneracións.  Podemos dicir polo tanto que hai tres xeometrías cuadráticas principais, que corresponden aos tres tipos de superficies de segunda orde con centro [5].  Deberemos engadir ademais as xeometrías que corresponden aos casos límite entre as que se sitúa a xeometría de Euclides.  ¿Como é posible que a xeometría do hiperboloide dunha folla fose ignorada ata agora polos teóricos? É porque implica as seguintes proposicións:  1º A distancia entre dous puntos situados nunha mesma xeratriz rectilínea da superficie fundamental é nula.  2º Hai dous tipos de rectas que corresponden, unhas ás seccións diametrais elípticas e outras ás seccións diametrais hiperbólicas; é imposible facer coincidir unha recta do primeiro tipo cunha recta do segundo mediante un movemento real. 3º É imposible facer coincidir unha recta consigo mesma por medio dunha rotación real ao redor dun dos seus puntos, tal e como ocorre na xeometría de Euclides cando se fai virar unha recta 180º ao redor dun dos seus puntos. Todos os xeómetras supuxeron implicitamente que estas tres proposicións son falsas, e en verdade estas tres proposicións son demasiado contrarias aos usos do noso espírito para que negándoas os fundadores da xeometría cresen defender unha hipótese e soñasen enunciala. [...]  ¿Que debemos pensar das premisas da Xeometría? ¿En que sentido pode dicirse, por exemplo, que o postulatum de Euclides é verdadeiro? Segundo acabamos de ver, a Xeometría non é outra cousa que o estudo dun grupo e, nese sentido, podería dicirse que a verdade da xeometría de Euclides non é incompatible coa da xeometría de Lobatchevski, xa que a existencia dun grupo non é incompatible coa doutro grupo. Entre todos os grupos posibles, eliximos un grupo particular para referirmos aos fenómenos físicos, como eliximos tres eixes de coordenadas para situar unha figura xeométrica.  Agora, ¿que é o que determina esta elección? Primeiro a simplicidade do grupo elixido. Pero hai outra razón: existen na natureza corpos notables, que se chaman sólidos, e a experiencia ensínanos que os diversos movementos posibles destes corpos están ligados pouco máis ou menos polas mesmas relacións que as diversas operacións do grupo elidido.  Daquela as hipóteses fundamentais da Xeometría non son feitos experimentais, pero, con todo, foron elixidas de entre todas as hipóteses posibles pola observación de certos fenómenos físicos.  Por outra banda, o grupo elixido tan só é máis cómodo que os outros e non se pode dicir que a xeometría euclidiana sexa verdadeira e a xeometría de Lobatchevski falsa, como non se podería dicir que as coordenadas cartesianas sexan verdadeiras e as coordenadas polares falsas.  Non insisto máis, pois o fin deste traballo non é o desenvolvemento destas verdades que empezan a ser banais.

Acababa de nacer a xeometría de Lorentz [6]. Observemos que os dous hiperboloides, dunha e dúas follas, herdan as súas respectivas xeometrías do espazo tridimensional dotado da forma cuadrática

q(u) = q(u₁,u₂,u₃) = u₁² + u₂² – u₃².

No caso do hiperboloide de dúas follas determinado pola ecuación 

x²+y²-z²+1 = 0, 

onde supoñemos a=b=c=1 por comodidade, a forma cuadrática é definida positiva en restrición ao plano tanxente á superficie en calquera punto, xa que q(u)>0 para calquera vector tanxente u ≠ 0. Para unir dous puntos dunha mesma folla seguindo o camiño máis curto, bástanos percorrer a curva que se obtén ao intersecar o plano que contén a eses dous puntos e á orixe. Pola contra, en cada punto do hiperboloide dunha folla determinado pola ecuación 

x²+y²-z²-1= 0, 

hai dúas direccións tanxentes u e u´ que verifican q(u) = q(u´) = 0. De feito, se temos en conta que a ecuación se escribe

(x+z)(x-z) = (1+y)(1-y), 

convencerémonos de que por ese punto pasan dúas rectas reais perpendiculares a si mesmas. Todos os puntos de cada unha desas rectas directrices están a distancia nula uns doutros.

Tras a súa morte, Simón Rodríguez converterase nun dos «fatuos delirantes» desprezados pola rancia Academia e os seus herdeiros. Hai unha corrente matemática e histórica interesada desde fai máis dun século en empequenecer a figura de Poincaré, pero hoxe calquera matemático ou historiador da ciencia ten acceso a obras orixinais e pode recoñecer por si mesmo o alcance do seu pensamento.

[1] Tras as reformas realizadas ao longo dos séculos XVI e XVII no antigo convento das monxas clarisas construído en 1260 grazas á dote de Violante de Aragón, esposa de Alfonso X, o aspecto actual do convento de Santa Clara débese á reforma emprendida por Domingo de Andrade a finais do século XVII e rematada por Simón Rodríguez entre 1721 e 1726.

Simón Rodríguez (Santiago de Compostela, 1679-1751) é un dos máis importantes arquitectos do barroco español e o máximo representante do estilo de placas. Discípulo probable de Domingo de Andrade, con quen colaborou nos seus inicios como entallador na construción do baldaquino da catedral compostelá, desenvolveu na súa obra posterior o seu interese pola xeometrización da estrutura arquitectónica, o que lle outorga unha indubidable modernidade. Grazas a un particular tratamento da pedra, máis propio dun entallador ou dun escultor que dun arquitecto, e a un singular xogo cos volumes xeométricos, ambos os dous característicos do estilo de placas, as súas obras posúen un aspecto case teatral. Ocorre así coa súa obra mestra, a fachada do convento de Santa Clara, pero tamén co retablo da Igrexa da Compañía construído pouco despois en 1727. Esas mesmas características están presentes na capela do Santo Cristo de Conxo ou na fachada do Colexio de Exercitantes. Aínda que segue o proxecto orixinal de Simón Rodríguez no interior e no primeiro corpo da fachada, a igrexa de San Francisco quedou inacabada pola morte do arquitecto e a súa fachada foi modificada de xeito substancial por imposición da Academia de Belas Artes de San Fernando que viña de nacer.

[2] Estes dous epítetos repítense na obra de estudiosos como Werner Weisbach e Antonio Bonet Correa, citados por María del Carmen Folgar, ou María Dolores Vila Jato para referirse á obra de Simón Rodríguez. Destaca a visión do historiador alemán Werner Weisbach no seu traballo Spanish Baroque Art: Three Lectures Delivered at the University of London [in January 1939] publicado pola editorial Cambridge University Press en 1941:

O volume aumenta na parte superior por medio dunha especie de composición cubista que sobresae sobre un frontón triangular: cilindros de pedra e bloques rectangulares de carácter abstruso, únicos no seu xénero.

Véxanse tamén os libros de Antonio Bonet Correa (La arquitectura en Galicia durante el siglo XVII,  Publicaciones del Instituto Padre Sarmiento, CSIC, 1984) e María del Carmen Folgar de la Calle (Simón Rodríguez, Fundación Pedro Barrié de la Maza,1989) e o artigo Simón Rodríguez, el estilo de placas publicado por María Dolores Vila Jato en Artehistoria.

[3] Henri Poincaré, Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, Bulletin de la Société Mathématique de France, 15 (1887), 203-216.

[4] Tomo prestada esta denominación do propio Poincaré:

A cuarta xeometría.—  Entre estes axiomas implícitos, hai un que creo merece algo de atención, porque abandonándoo pódese construír unha cuarta xeometría tan coherente como as de Euclides, Lobatchevsky e Riemann. […] Non citarei máis que un destes teoremas e non elixirei o máis singular: unha recta real pode ser perpendicular a si mesma. […] Noutros termos, os axiomas da xeometría (non falo dos da aritmética) non son máis que definicións disfrazadas. Pero entón, ¿que debemos pensar desta cuestión? ¿A xeometría euclidiana é verdadeira? Isto non ten ningún sentido. É o mesmo que preguntar se o sistema métrico é verdadeiro e as antigas medidas falsas, se as coordenadas cartesianas son verdadeiras e as coordenadas polares falsas. Unha xeometría non pode ser máis verdadeira que outra, só pode ser máis cómoda. Henri Poincaré,  Ciencia e hipótese, Flammarion, Paris, 1902

Máis teatral diría Simón Rodriguez.

[5] Elipsoides, hiperboloides e paraboloides, estes últimos con centro no infinito.

[6] É o propio Henri Poincaré quen chamará grupo de Lorentz ao grupo formado polas «transformacións de relatividade» en homenaxe ao seu amigo Hendrik A. Lorentz ao demostraren en 1905 que estas deixan invariantes as ecuacións do electromagnetismo, e Hendrik A. Lorentz quen contará a historia de primeira man en Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la Physique Mathématique, Acta Mathematica, 38 (1921), 293-308.

A harmonía e o caos

La pensée n'est qu'un éclair au milieu d'une longue nuit.

Mais c'est cet éclair qui est tout.
Henri Poincaré, La valeur de la Science

Henri Poincaré representa o pensamento maduro, prudente, dotado dunha intuición portentosa, fronte a unha imaxen da ciencia a medio camiño entre blitzkrieg e operette, viral ads e nerd nites. A súa obra marcou profundamente a física e a matemática do século XX e seguirá a facelo nos séculos vindeiros.

Hai pouco Alberto Verjovsky comentaba o moi distinto carácter de tres alumnos de Morris W. Hirsch. Ao oílo, tiven claro que, aínda que separados por un século, ese tímido alumno de aspecto lento e con grosos lentes era o verdadeiro herdeiro científico e moral de Henri Poincaré. O seu nome é William P. Thurston. Dixen «o verdadeiro herdeiro», deixándome levar por algúns lazos entre os dous, como a profunda intuición ou a vasteza da obra, que van máis aló do problema –hoxe teorema– que ligará os seus nomes por sempre. Pero a herdanza de Poincaré segue viva.

Un vello amigo dicíame non hai moito que só lle apetece reler e repensar os vellos traballos de Poincaré, unha sorte para os que –por desgracia, só de vez en cando– podemos desfrutalo. Poincaré é tamén o heroe de Alberto –ou debería dicir Escher, Douady, Riemann–. Por fortuna, nesta ocasión, non é unha voz, senón unha presenza clave no film Henri Poincaré, l’harmonie et le chaos, dirixido por Philippe Worms e producido por Vie Des Hauts Production, France Télévisions e CNRS Images, que reuniu a Nicolas Bergeron, Thierry Dauxois, Étienne Ghys, Tadashi Tokieda, Alberto Verjovsky e Cédric Villani para evocar a figura de Poincaré e a súa influencia no pensamento científico actual. Pero o que este documental ambiciona en realidade –e é esa a mellor homenaxe a Henri Poincaré– é ese «faire la part de l’harmonie et du chaos» que propón Étienne Ghys nunha secuencia. Dicía Poincaré que «a harmonía expresada polas leis matemáticas é a única realidade obxectiva, a única verdade que podemos alcanzar; […] a harmonía universal do mundo é a fonte de toda beleza». Pero pensemos que a harmonía perfecta –contemplen o mosaico de Kepler ou a árbore de Kenyon da cabeceira– é a miúdo o froito improbable do caos. 

Espero que os produtores se decidan a ofrecérmonos unha versión subtitulada en español ou inglés, pero valla como mostra unha pasaxe espléndida onde Étienne Ghys e Alberto Verjovsky nos explican a xeometría das árbores. Para os que desexen comprender mellor ese equilibrio entre harmonía e caos que nos deixa albiscar Étienne Ghys, nada mellor que contemplar o seu film Chaos.

Grazas a Dominique Garing (Vie de Hauts Production) por autorizar o subtitulado e a reprodución da pasaxe do documental Henri Poincaré, l’harmonie et le chaos e a Pablo González Sequeiros pola súa lectura.

Tout ce qui n’est pas pensée est le pur néant, puisque nous ne pouvons penser que la pensée et que tous les mots dont nous disposons pour parler des choses ne peuvent exprimer que des pensées ; dire qu’il y a autre chose que la pensée, c’est donc une affirmation qui ne peut avoir de sens. Et cependant — étrange contradiction pour ceux qui croient au temps — l’histoire géologique nous montre que la vie n’est qu’un court épisode entre deux éternités de mort, et que, dans cet épisode même, la pensée consciente n’a duré et ne durera qu’un moment. La pensée n’est qu’un éclair au milieu d’une longue nuit. Mais c’est cet éclair qui est tout. Henri Poincaré, La valeur de la science, Flammarion, 1905. Todo o que non é pensamento é pura nada, pois non podemos pensar máis que no pensamento e todas as palabras das que dispoñemos para falar das cousas non poden senón expresar pensamentos; dicir que hai outra cousa que o pensamento é unha afirmación sen sentido. E así e todo —curiosa contradición para os que cren no tempo— a historia xeolóxica móstranos que a vida non e máis que un curto episodio entre dúas eternidades de morte e que, nese mesmo episodio, o pensamento consciente non durou e non durará máis que un anaco. O pensamento non é máis que un lóstrego no medio dunha longa noite. Pero ese lóstrego éo todo. Henri Poincaré, La valeur de la science, Flammarion, 1905.