Mosaicos

As sorpresas son parte do pracer do paseo. O premio Nobel de química 2011 concedido a Daniel Shechtman polo seu descubrimento dos case-cristais é unha fermosa sorpresa que aporta ademais interesantes cuestións [1]. Nun artigo moi recente, Pierre de la Harpe e Félix Kwok evocaban neste sitio o feito salientable de que «os mosaicos [...] invocados polos teóricos dos case-cristais foran descubertos antes que os propios case-cristais». Velaquí «a irrazonable eficacia das matemáticas nas ciencias naturais» por utilizar as palabras do físico Eugene Wigner. Pero o máis sorprendente é que o achado do profesor Shechtman atopa as súas fontes matemáticas algúns séculos antes.

Conveñamos que un mosaico vén dado por un número finito de polígonos tales que as súas copias por translación (ou por isometría) recubren o plano. Suponse decotío que dous polígonos se tocan sempre lado con lado. Os exemplos máis simples son os mosaicos regulares obtidos a partir dun único polígono regular. Velaquí tres mosaicos deste tipo: 

Idénticos a si mesmos arredor de calquera tesela, posúen a mesma natureza repetitiva das árbores descritas no billete anterior. Esta observación dedúcese tamén doutra propiedade importante: estes mosaicos permanecen invariantes por dúas translacións independentes e daquela abonda con coñecer unha porción finita para reconstruílos (en contra do que lles pasaba ás árbores mencionadas). Dise que son periódicos.

Xurde pois unha cuestión natural: pódense construír outros mosaicos regulares, poñamos a partir dun pentágono regular ? A imposibilidade de tal construción – ligada ao feito de que un mosaico regular só pode permanecer invariante por rotacións de orde 2, 3, 4 ou 6 – interesou a Johannes Kepler a principios do século XVII. No libro II (De Congruentia Figurarum Harmonicarum) da súa obra Harmonices Mundi [2], publicada en Linz en 1619, constrúe un mosaico cunha simetría pentagonal. De feito, Kepler mostra só unha porción do mosaico, pero ten coidado de comprobar que este motivo se prolonga nun mosaico [3]. Tomemos o motivo de Kepler (sen o pequeño erro do impresor no «monstrum»  –«duo Decagoni inter se commissi»– de enriba) : 

O mosaico Aa de Kepler é evidentemente aperiódico, no sentido de que non é respectado por ningunha translación. Pero pódese tamén construír un mosaico periódico coas mesmas teselas. Atoparase neste artigo unha explicación do interese desta discusión. 

Pero retomemos o noso camiño e reformulemos a pregunta proposta nos billetes anteriores: por que é fermoso o mosaico  de Kepler ? Comparte coa aliaxe metálica descuberta por Shectman (da que pode verse o diagrama de difracción na seguinte imaxe) unha simetría decagonal:

Esta mesma simetría aparece no famoso mosaico por dardos e papaventos construído por Roger Penrose en 1974. No seu artigo Pentaplexity [4], constrúe primeiro un mosaico mediante pentágonos, rombos, pentagramas e porcións de pentagramas:

Como antes, estas mesmas pezas serven para construír un mosaico periódico do plano. Para evitar este fenómeno, pódense engadir lingüetas e fendas. É así como Penrose obtén un exemplo de seis prototeselas aperiódicas, é dicir, que só recubren o plano de maneira aperiódica. E grazas a unha hábil división, pode reducir ese número a dous: o dardo e o papaventos. 

Coma a árbore de Kenyon, os mosaicos de Kepler e de Penrose son repetitivos [5], no sentido de que podemos atopar calquera porción finita no interior de calquera outra porción suficientemente grande [6]. Aínda que non sexan respectados por ningunha translación, aseméllanse a si mesmos arredor de calquera tesela. En realidade, estes dous mosaicos son iguais (e polo tanto a proba da anterior afirmación redúcese á bosquexada por Penrose):

Que o achado do profesor Shechtman fora precedido polo de Kepler – 363 anos antes –,  reunindo beleza e utilidade, parece prodixioso. Pero de feito un século antes, no seu segundo libro sobre a xeometría [7], Alberto Durero escribía:

«Agora, gustaríame colocar unha con outra varias figuras poligonais, de tal maneira que poidan sevir para pavimentar o chan.»

Tras os triángulos, os cadrados e os rombos, ocúpase dos pentágonos e constrúe un mosaico aperiódico mediante pentágonos e rombos cunha simetría decagonal [8]. Velaquí a porción descrita por Durero:

que se pode estender de maneira evidente:

O mosaico de Durero non parece repetitivo ou case-periódico [9], mais a imaxe mostra que a súa construción segue a ser dunha certa maneira «repetitiva».

Tradución do billete «Pavages»

no sitio Images des Mathématiques

A LER/VER TAMÉN

A. Alvarez, Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.

P. de la Harpe, F. Kwok, Prix Nobel de chimie, quasi-cristaux, périodicité et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.

E. Janvresse, T. De la Rue, Nobel de chimie et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 10 octobre 2011.

Craig S. Kaplan. A meditation on Kepler's Aa. In Bridges 2006: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 465-472, 2006.

Á. Lozano Rojo, Decorando el plano. Matematicalia, 7 (2), Junio 2011.

R. Lück, Dürer-Kepler-Penrose, the development of pentagon tilings. Materials Science and Engineering, 294-296 (2000), 263-267.

P.S. : Grazas a Marta Macho Stadler e Álvaro Lozano Rojo polos seus comentarios e tamén a Paul Vigneaux pola súa axuda. Todas as imaxes foron feitas con GeoGebra.

[1] Ao artigo de Pierre de la Harpe e Félix Kwok, gustaríame engadir o billete L’énigme des pentagones escrito por Étienne Ghys.

[2] J. Kepler, Harmonices Mundi. Lincii Austriae, Sumptibus Godofredi Tampachii, excudebat Ioannes Plancus, 1619. Versión francesa : L'harmonie du monde. Trad. et notes J. Peyroux, Librairie A. Blanchard, 1979.

[3] «Et sic consequenter, unaquaelibet forma quinquangula fert novi aliquid. Structura est laboriosissima et artificiosissima, visenda ad eandem literam Aa.» Unha traducción ao galego podería ser: «Así, durante a súa progresión, este motivo de cinco ángulos introduce continuamente novas visións. A estrutura é moi laboriosa e complicada. Véxase o diagrama etiquetado Aa »

[4] R. Penrose, Pentaplexity. Eureka, 39 (1978), 16-32. Artigo reproducido na revista Mathematical Intelligencer, 2 (1979/80), 32-37.

[5] Chámaselles tamén case-periódicos.

[6] Hai mosaicos construídos mediante as teselas de Kepler e de Penrose que non son repetitivos pois combinan motivos dos mosacios periódicos e aperiódicos. Cando introducimos fendas e lingüetas, facemos desaparecer estes mosaicos.

[7] Albrecht Dürer, Underweysung der Messung. Nürnberg, 1525. Versión francesa : Géométrie. Trad. et présentation de Jeanne Peiffer, Seuil, 1995. Versión española: De la medida. Akal, Madrid, 2000. Neste sitio pódese ver unha edición de 1538 que contén o libro De Symetria partium in rectis formis humanorum corporum de 1532.

[8] Durero propón unha segunda construción de tipo aleatorio coa axuda de «pentágonos que forman rosas».

[9] No seu artigo, Reinhard Lück afirma que o mosaico de Durero non é repetitivo. Fala dun núcleo de simetría de orde 5, pero ese tipo de núcleo atópase tamén nos mosaicos Aa de Kepler e de Penrose por dardos e papaventos.

Grafos

A teoría de grafos é un bo exemplo de teoría matemática pegada á realidade desde a súa orixe. O problema das pontes de Könisberg [1] resolto por Leonhard Euler en 1736, o estudo das redes eléctricas [2] por Gustav Kirchhoff en 1847 ou a enumeración dos isómeros dos hidrocarburos saturados acíclicos [3] por Arthur Cayley en 1874 ilustran ben esta idea. Pero agora vou interesarme noutra observación da vida ordinaria: en calquera grupo de seis persoas, hai sempre polo menos tres persoas que se coñecen, ou ben tres persoas que non se coñecen. Representemos cada unha destas persoas por un punto e depois unamos dous puntos cun segmento rectilíneo de color vermella se as dúas persoas se coñecen ou azul se non se coñecen.

A observación convértese agora nun teorema, chamado teorema de Ramsey, que se pode reformular da seguinte maneira: o grafo bicolor G que se obtén así [4] contén un triángulo vermello ou azul. Ou aínda mellor, ou ben o grafo vermello dos amigos A, ou ben o grafo azul dos estraños E (chamado  complementario de A) contén un triángulo.

 En realidade, Frank P. Ramsey demostrou un teorema máis xeral : para cada par de enteiros positivos m e n, existe un número enteiro R(m,n), chamado número de Ramsey [5], tal que calquera grafo completo bicolor G que teña polo menos este número de vértices contén un subgrafo completo con m vértices ou n vértices e coas arestas da mesma color. Como antes, o grafo vermello A contén un subgrafo completo con m vértices, ou ben o seu complementario azul E contén un subgrafo completo con n vértices.

A proba da nosa observación é moi simple. Fixemos un vértice calquera P. Está unido aos outros cinco vértices por arestas de color vermella ou azul. Hai polo menos tres arestas da mesma color, poñamos vermella. Os extremos A, B e C están unidos por aristas das dúas colores. Se unha das arestas (poñamos AB) é vermella, temos daquela un triángulo vermello PAB. Pola contra, se ningunha é vermella, temos un triángulo azul ABC. Observemos ademáis que esta demostración non é certa se consideramos un grupo de cinco persoas. Velaí un grafo bicolor que non contén ningún triángulo da mesma color:

Temos comprobado que R(3,3) = 6. Pero voltemos á nosa cuestión orixinal [6]: de onde provén a beleza da árbore de Kenyon?

Poderiamos pensar nas simetrías, pero non son moi numerosas: catro xiros, catro reflexións e as súas composicións. Cambiemos logo de idea e tentemos construir unha árbore da seguinte maneira. Partamos dun punto

e despois fixemos un dos catro puntos cardinais Norte, Sur, Este e Oeste, N, S, E e O en abreviatura, poñamos O. Esta elección determina unha aresta (coloreada en vermello) que podemos repetir nas tres outras direccións N, E e S :

 A elección dun segundo punto cardinal (poñamos S) permite trazar un camiño (formado por dúas arestas vermellas) e repetir a figura nas outras direccións:

Cada sucesión de puntos cardinais determina unha árbore enraizada. Por exemplo, a da figura, que crece cara ao oeste, corresponde á sucesión OSNE…

Velaquí a súa construcción:

Non é a árbore de Kenyon pois non hai máis ca unha maneira de partir cara ao infinito sen idas e voltas, namentres que hai catro maneiras diferentes de facelo na árbore de Kenyon. Tamén é menos simétrica [7]. Pero é igualmente fermosa cá árbore de Kenyon.

Semellantes a elas mesmas arredor de calquera punto, as dúas árbores son indistinguibles a pequena escala. Aventuremos unha resposta: fainas fermosas a súa natureza repetitiva.

Tradución do billete «Graphes»

no sitio Images des Mathématiques

[1] L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, 8 (1736), 128-140.


[2] G. Kirchhoff, Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Unter-suchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird. Ann. Phys. Chem., 72 (1847), 497-508.


[3] A. Cayley, On the mathematical theory of isomers. Philos. Mag., 67 (1874), 444-467.


[4] Trátase dun grafo completo onde cada par de vértices está unido por unha aresta.


[5] Véxase tamén este sitio.


[6] Proposta no primeiro billete Comezo da serie.


[7] Pois non posúe ningunha simetría como árbore enraizada e só unha reflexión horizontal se esquecemos a orixe.

Comezo

Máis aló  das súas aplicacións, hai matemáticas pegadas á realidade. Hoxe gustaríame comezar un paseo matemático arredor dun concepto da vida ordinaria. Pero o meu percorrido non será nin exhaustivo, nin obxectivo. Ao contrario, querería gardar unha mirada subxectiva.

Foi hai trece anos, nun coloquio Stony Brooks, cando esta andaina comezou para min. Nunha espléndida charla, oín falar por vez primeira dunha árbore infinita imaxinada por Richard Kenyon.

En realidade, esta figura non mostra máis que unha porción finita da árbore infinita K obtida como a unión dunha sucesión de árbores Kn onde os catro primeiros termos K1, K2, K3 e K4 están representados máis abaixo:

De onde provén a beleza da árbore de Kenyon? É a cuestión que me gustaría responder ao longo desta andaina. Non me lembro desde cando exactamente esta árbore está ligada na miña cabeza a una frase de Frank Kafka

«Sie suchte etwas und er suchte etwas,» [1]

e unha peza de Johann Sebastian Bach [2]. Pero estou certo de que, nun momento dado, quizais antes mesmo de ter comprendido, fun atopar en Los testamentos traicionados [3] a sensación que sentira cando lera este libro de Milan Kundera. Comezo agora a procura dunha xustificación.

Tradución do billete «Début de promenade»

no sitio Images des Mathématiques

[1] «Ela buscaba algo e el buscaba algo,»

[2] Contrapunctus I, Die Kunst der Fugue, BWV 1080, nunha versión de Chris Breemer para Piano Society.

[3] Milan Kundera, Los testamentos traicionados. Tusquets, 1994.

Bestiario

Sempre me gustaron os bestiarios. Quizais porque, en todas as épocas, nos devolven a imaxe – a miúdo deformada – dos tempos. Hoxe, nos matemáticos, xa podemos percibir a imaxe – posiblemente deformada – das matemáticas do século XXI.

Hai uns meses, cando preparaba outro billete, atopei por sorte o sitio Visualizar’09: Datos Públicos, Datos en público. Un enlace chamou pronto a miña atención: Bestiario.

Trátase dun novo bestiario con algunas fermosas bestas. Hoxe gustaríame falar dunha desas bestas, chamada «flow», o fluxo dos artigos da Wikipedia usados polos responsables do sitio. Son empresarios, economistas, artistas, arquitectos, enxeñeiros, mesmo matemáticos, unidos nunha compañía que quere «facer comprensible a complexidade».

Alguén poderá dicir que este fluxo ten menos interese có das publicacións serias, onde as matemáticas adoitan xogar un papel menor [1]. Pero na miña opinión, o que fai interesante esta imaxe é xustamente que un pode ver o gusto polas matemáticas e pola xeometría de xentes que non son matemáticos ou científicos. E tamén pódese entrever que as ciencias da vida, nun sentido amplo, xa substituíron ás ciencias da materia como motor das novas matemáticas.

Tradución do billete «Bestiaire»

no sitio Images des Mathématiques

[1] Velaquí o fluxo temporal da influencia das máis importantes publicacións científicas, onde as matemáticas forman parte da pequena banda azul. Cada revista represéntase mediante unha curva de ancho proporcional á súa importancia, que se mide cunha cantidade chamada Eigenfactor™. Estas curvas forman agregados, ligados polas citas mutuas, similares a árbores con pólas e raíces temáticas de diferentes cores. Sospeito que unha comparación da vida media dos artigos obrigaría a esmoucar unhas cantas pólas rosas e verdes.

Na seguinte figura, as revistas represéntanse mediante rectángulos encaixados nunha porción rectangular do plano. A área de cada rectángulo é proporcional á importancia da revista, medida polo seu Eigenfactor™. Esta representación coñécese polo seu nome en inglés «treemap». Cando pinchamos nunha revista, vemos aparecer o seu fluxo de citas (coma o da revista Annals of Mathematics) onde as frechas brancas representan as citas entrantes, as negras as citas saíntes e a lonxitude das frechas dá a medida do número de citas.

  

Para comprender mellor as dificultades que conleva a pretensión de querer medir e comparar a actividade científica, aconsello a lectura do informe Citations Statistics de Robert Adler, John Ewing e Peter Taylor e os artigos de Fabrice Planchon e Jean-Marc Schlenker neste sitio [Images des Mathématiques].

 

Bibliotecas

«Cuando se proclamó que la Biblioteca abarcaba todos los libros, la primera impresión fue de extravagante felicidad.» [1]

As bibliotecas cambiaron. Pero isto non atangue só ao uso que facemos delas. As nosas bibliotecas ampliáronse ata o punto que os seus límites parecen esvaecer. A miña biblioteca persoal non crece coma antes, quizais porque cheguei á idade na que se prefire reler. Pero grazas á Bibliothèque Nationale de France, á British Library ou á Biblioteca Nacional de España, agora teño miles de obras ao alcance dun clic.

O mesmo ocorre coas matemáticas. Aquí temos unha biblioteca magnífica, reunida ao longo de cincuenta anos, pero teño que confesar que vou cada vez menos. Nas revistas electrónicas, MathSciNet, ArXiv ou mesmo Google, atopo case todas as referencias que preciso no meu traballo decotío. Pero para o pracer – e a miúdo  para o traballo: as boas matemáticas e as matemáticas fermosas adoitan perdurar –, son outros os sitios  que se tornaron indispensables para min. Falo de Numdam, JSTOR, Projet Euclid, dos proxectos de dixitalización dos vellos documentos matemáticos que fixeron aínda máis vastas as bibliotecas matemáticas do mundo.

«Yo me atrevo a insinuar esta solución del antiguo problema: la Biblioteca es ilimitada y periódica.  Si  un eterno viajero la atravesara en cualquier dirección, comprobaría al cabo de los siglos que los mismos volúmenes se repiten en el mismo desorden (que, repetido, sería un orden: el Orden). Mi soledad se alegra con esa elegante esperanza.» [2]

Coma os personaxes de Borges, poderíamos pensar que todo isto existe ab aeterno e soñar daquela que existirá ad aeternum. Hai cinco anos, nun anexo – titulado Notes et Commentaires – do volume IX das Œuvres de Poincaré, atopei case por azar un artigo de Lorentz e nel unha frase que me levaría a renunciar a certos tópicos. O artigo orixinal fora publicado na revista Acta Mathematica. Podía facer unha copia, pero non puden evitar intentar atopar o ficheiro electrónico. Daquela descubrín una fermosa edición electrónica na páxina web do Institut Mittag-Leffler.

Con emoción, gardei o ficheiro pdf co índice do volume 38 –en memoria de Poincaré – ata o momento no que, hai algúns días, quixen pinchar no artigo de Lorentz. Non funcionou. Verifiqueino: os antigos ficheiros desapareceran e fun redirixido á páxina web de Springer. Ao final atopei o artigo de Lorentz nunha triste páxina. [3] Temo pola miña esperanza. [4]

Tradución do billete «Bibliothèques»

publicado no sitio Images de Mathématiques

[1] [2] Jorge Luis Borges, La Biblioteca de Babel, Ficciones. Alianza Editorial, Madrid, 1997. 

[3] Ignorando a vontade de Mittag-Leffler, o volume 38 datouse de 1915, cando foi impreso o 11 de marzo de 1921.

« Le présent volume était à peu près imprimé il y a 5 ans, mais sous la pression des malheurs qui pendant cette période ont frappé les différents peuples de la terre, on a cru ne devoir le publier que maintenant. » 

G. Mittat-Leffler, Au lecteur.

[4] Aproveitemos –  pola memoria futura, «wie dies sein muß» – que aínda podemos volver atrás e descubrir o que Poincaré lle explicaba ao público da Exposición Universal de 1904 :

Henri Poincaré, L'état actuel et l'avenir de la physique mathématique. Bulletin des Sciences Mathématiques, 28 (1904), 302-324.