In memoriam IDP
«O matemático ao seu pesar». Nestes termos describe Rafael Dieste a súa relación coas matemáticas ao ser preguntado nun coloquio que tivo lugar na Sociedade de Cultura Valle Inclán do Ferrol en 1981. A súa resposta danos unha clave importante do seu interese pola xeometría –«Por entonces, se hablaba del problema del tiempo. El espacio estaba, como si dijéramos, un poquito desdeñado» [1]–, reiterada dunha ou outra forma nas súas últimas cartas a Eladio Dieste e Gabriel Zaid [2]. Nesas cartas, en vez dos aspectos técnicos ou epistemolóxicos de textos anteriores, aflora outra preocupación, chamémola cosmolóxica, sobre a que gravita o discurso de Rafael Dieste. Non parece unha preocupación nova, aínda que cristalice de súpeto, senón a consecuencia natural do seu interese polo espazo, ou mellor dito pola relación entre a visión do espazo, o concepto de espazo e o propio espazo físico. Percepción, comprensión e realidade, un trinomio que conforma o eixo problemático dunha parte importante da súa obra ensaística, do Nuevo tratado del paralelismo (Atlántida, Buenos Aires, 1956) ao Testamento geométrico (Ediciós do Castro, Sada, 1975), pasando por Diálogo de Manuel y David, y otros ensayos (Ediciones Teseo, Vigo, 1965) ou ¿Qué es un axioma? (Ediciones Teseo, Vigo, 1967). Desde esa perspectiva e pese ao compoñente azaroso, que Dieste chama novelesco, a «fatalidade» que o levou a ocuparse da teoría do paralelismo era inevitábel [3], pois para abordar o problema esencial dunha maneira eficaz necesitaba facelo concreto. Quizais por iso maniféstase mellor no Testamento geométrico e nas súas últimas cartas, máis claro, menos especulativo, privado de parte do aparato técnico de ensaios anteriores.
Non é difícil recoñecer a un matemático nesa maneira de proceder. A obra de Rafael Dieste mostra un gusto excepcional polas matemáticas, raro en alguén sen formación académica. Sorprende a elegancia das súas solucións a certos problemas clásicos, apreciábel nos seus textos e nas anécdotas lembradas polos seus amigos. O seu estilo, inusual nas matemáticas de hoxe, recorda ás veces os traballos de Henri Poincaré, e non só aqueles de contido filosófico como Dernières Pensées (Flammarion, Paris, 1913), senón tamén aqueloutros como Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie (Bull. Soc. Math. France, 15 (1887), 213-216) que abordan o problema da xeometría do plano. Pero non son estes os únicos aspectos que xustifican ese recoñecemento, pois hai outros talvez máis reveladores. Así, cando Rafael Dieste escribe que «tratándose de las matemáticas, “estudio” significa en gran medida “reinvención”, la cual no es posible sin espontaneidad, quiero decir, sin esa iniciativa –sujeta a ciertas condiciones, como en el arte y en el juego– a que ahora me refiero» [4], está expoñendo unha visión das matemáticas que difire pouco da que ten un matemático profesional. E calquera matemático –pero se cadra máis un xeómetra ou un topólogo– sabe da importancia da linguaxe. Unha parte fundamental do noso traballo consiste en elixir palabras de maneira que o seu sentido non só non contradiga ou faga inintelixíbel aquelo que queremos dicir, a esencia do concepto que queremos formular o da idea que queremos transmitir, senón que reflictan fielmente o concepto ou a idea na súa totalidade e sen ambigüidade. Para o leigo, as matemáticas asócianse a estraños símbolos. Usámolos e a miúdo resúltannos cómodos, pero a nosa busca nútrese de imaxes e palabras. O oficio dun matemático é demostrar, converter intuicións en verdades matemáticas, pero facelas visíbeis, naturais e simples é case sempre o máis arduo. Ninguén resume mellor a fonda preocupación de Rafael Dieste pola claridade da linguaxe que o seu sobriño Eladio Dieste cando alude –e agora citámolo textualmente– ao «desconcierto que producen expresiones que usan palabras cuyo sentido las contradicen» [5]. A protesta de ambos perante a idea dun «universo finito, pero ilimitado», segundo a célebre fórmula de Einstein, é comprensíbel [6]. Algúns aínda cren nese modelo, pero compre sinalar que Einstein renunciou a el. En 1932, tras opoñerse á idea dun universo dinámico en expansión ao longo de dez anos [7], propuxo xunto a Wilhem de Sitter un modelo dese tipo, infinito e euclidiano [8]. Sen dúbida, ese modelo seríalle máis grato a Rafael Dieste. A cosmoloxía actual contempla tres tipos de modelo de universo en expansión –«pechado», «plano» ou «aberto»–, cunha forte preferencia pola segunda opción, baseada na teoría inflacionaria, aínda que as observacións astronómicas favorecen a terceira. Desafortunadamente persiste o uso de termos relativos para referirse ao universo e a confusión entre propiedades intrínsecas e extrínsecas, locais e globais. Hai que deixar claro que as ecuacións de Einstein non determinan a topoloxía global do universo. Inclinarse por un modelo depende moitas veces do sistema de crenzas que conforma a nosa particular visión do mundo [9].
Como lle ocorre a Eladio Dieste na revisión da obra xeométrica do seu tío, a cuestión da linguaxe lévanos a outra cuestión máis persoal, relativa á postura fronte ás matemáticas. Unha vez máis é Eladio Dieste quen mostra con claridade a posición que ambos comparten: «Nosotros creemos que nuestra relación con el mundo es algo más de lo que puede lograr la “fábrica de tautologías” a que ese epílogo se refire [epílogo do libro Matemáticas e Imaginación de Kasner y Newman, citado por Eladio Dieste, onde se defende unha concepción formalista da matemática]; se parece más al acto de “ver” que a la creación de una suerte de contabilidad universal del conocimiento cuya aplicabilidad a lo real tendría que ser objeto de un nuevo y gran postulado. […] Toda esa mentalidad, que se expresa en lo que se llama positivismo lógico, preocupaba a Rafael Dieste desde su juventud y le parecía un patético error, un error filosófico y hasta un error en la estrategia del conocimiento». Ao longo do século XIX, prodúcese un cambio importante na maneira de facer matemáticas, substituíndose o método construtivo polo estudio das relacións entre obxectos asumidos como existentes. Onde Euclides formulaba un problema –«trazar unha recta por un punto que sexa paralela a unha recta dada» [10]–, afírmase agora existencia –hai unha recta con esa propiedade–. Ao mesmo tempo desenvólvense novos métodos, baseados no concepto de conxunto infinito, que dan lugar a resultados cada vez máis potentes, aínda que simultaneamente xurden paradoxos derivados de interpretacións demasiado libres desa noción. Desta maneira, a finales do século XIX, faise evidente a necesidade de abordar o problema dos fundamentos da matemática. Isto vai determinar diversas posturas respecto á existencia dos obxectos matemáticos. Hai un platonismo matemático referido ao tipo de obxectos postulados: a totalidade dos números naturais no suposto máis feble ou calquera conxunto –finito ou infinito– no suposto máis forte. Adoita escoitarse que os matemáticos en activo profesan o platonismo os días hábiles e o formalismo os festivos, é dicir, asumen como realmente existentes os obxectos cos que traballan, aínda que, ante a presión dos filósofos, non teñen reparo en aceptar que a matemática é un xogo de símbolos carentes de significado. Pero hai outro platonismo de carácter filosófico, esbozado na cita previa de Roger Penrose e invocado no texto de Eladio Dieste. As súas palabras enlazan coas dirixidas polo seu tío a Gabriel Zaid: «La gente, aun la que puede recitar alguna de las varias formulaciones del V Postulado, tiende a asimilar su posible discusión a la de un “problema particular” […] De ahí la conveniencia de hacer visible la amplitud del problema. Este no sólo afecta a la Geometría en su totalidad (así como al posible modo de entender el Entendimiento), sino también a la noción del Mundo, que incluye –o demanda– la de Fundamento». Responder a esa demanda de fundamento foi a tarefa emprendida polo movemento formalista –liderado polo gran matemático David Hilbert– a finais do século XIX. A idea de Hilbert era converter o problema da «existencia matemática». nun problema matemático, interpretándoa como «consistencia» ou «ausencia de contradición». Unha vez fixadas as regras permitidas nunha área da matemática, incluíndo calquera forma válida de razoamento matemático, a proba dun resultado reduciríase á comprobación mecánica da correcta aplicación desas regras e nese caso o resultado sería «verdadeiro» –un teorema do sistema formal considerado–. Consonte ao formalismo estrito, a matemática reduciríase a unha mera dedución formal –unha «fábrica de tautoloxías» segundo a expresión de Eladio Dieste–. Non obstante, Kurt Gödel demostrou en 1930 que o sono formalista era inalcanzábel [11]. O seu platonismo –moito máis sutil que o mostrado por outros matemáticos célebres como Georg Cantor– non será alleo à súa proba. Gödel sostén que os obxectos matemáticos poden concibirse como obxectos reais coa mesma lexitimidade que os obxectos físicos, entendendo que estes son un produto teórico das nosas percepcións sensíbeis. Aínda que a súa orixe non é perceptual, representan un aspecto da realidade obxectiva que aprehendemos por un mecanismo distinto ao mecanismo das sensacións. Segundo Gödel, non hai razón para ter menos confianza nese outro tipo de percepción –a intuición matemática– que na percepción sensíbel [12]. No prólogo do Nuevo tratado del paralelismo faise visíbel a proximidade das ideas de Dieste coas ideas de Gödel esbozadas antes. Por iso decepciona que o interese de Dieste se limitara á hipotética inconsistencia das xeometrías no euclidianas [13].
A lectura de quen remprazou a Einstein no imaxinario popular como icona científica móstranos o alcance do «erro filosófico» que preocupaba a Dieste. Co seu habitual descaro, Stephen Hawking declara: «son un positivista que cre que as teorías físicas son simplemente modelos matemáticos que construímos nós, e que é absurdo preguntarse se se corresponden coa realidade; só hai que cuestionarse se predin ou non observacións» [14]. Segundo iso, non era preciso cambiar a teoría xeocéntrica de Ptolomeo pola teoría heliocéntrica de Copérnico. De feito, como indica Antonio Escohotado no seu libro Caos y orden (Espasa, Madrid, 1999), semellante criterio houbese aconsellado substituír a astronomía copernicana pola astroloxía maia. É curioso que as declaracións de positivismo ou empirismo sirvan a miúdo de coartada á formulación de conxecturas en conflicto coa observación [15] ou á escatoloxía [16].
Chegados a este punto, quizais conveña explicar con detalle cal foi o propósito das investigacións xeométricas de Rafael Dieste, lembrando o enunciado do V postulado de Euclides. Na súa formulación usual, que non se corresponde coa orixinal de Euclides (c. 360-280 a.C.), senón con outra posterior de Proclo de Licia (410-485 d.C.), este postulado afirma que por un punto exterior a unha recta dada pasa unha única recta paralela [17]. Durante máis de dous mil anos, houbo innumerábeis intentos de probalo a partir dos outros postulados euclidianos. Esa foi tamén a pretensión de Rafael Dieste. Quede claro que ningunha desas demostracións foi correcta, nin ningunha o será xamais. Non parece útil lembrar agora a historia do V postulado de Euclides ou a orixe das xeometrías non euclidianas a mediados de século XIX. A bibliografía sobre o tema é abondosa. Chéganos con sinalar que a invención da «xeometría imaxinaria» por Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) é froito desas demostracións erróneas [18]. Por outra banda, moitas propiedades das xeometrías non euclidianas xa eran coñecidas polos que, pretendendo demostrar o V postulado, exploraron as consecuencias da súa negación [19]. Non obstante, a visión actual da xeometría hiperbólica baséase nas contribucións posteriores de Eugenio Beltrami (1835-1900), Felix Klein (1849-1925) e Henri Poincaré (1854-1912).
En principio, é fácil construír un espazo con esa xeometría. De feito, a cosmovisión grega arcaica responde a varios modelos de xeometría hiperbólica, e non euclidiana como talvez cabería esperar. Se pensamos na Terra como un disco plano, limitado por un abismo circular, entón por un punto q exterior a unha recta R pasan dúas paralelas P1 y P2 mostradas na primeira figura. En realidade, R posúe unha infinidade de paralelas P. Hai outra imaxe do universo, representada nunha célebre copa laconia conservada no Museo Vaticano e onde Atlante soporta a bóveda do ceo, que non é moi diferente da descrición de Beltrami do modelo proxectivo de Klein [20]. Desde un punto de vista matemático, é máis cómodo usar o semiplano que o disco. Se nos quedamos co semiplano, a xeometría perde o seu carácter euclidiano, pois hai infinitas rectas paralelas á recta R que pasan polo punto q. ¿Que ocorre cos outros postulados? En principio, cúmprense sempre que interpretemos literalmente as definicións euclidianas. Agora ben, algúns deses postulados teñen como propósito garantir o uso da regra e do compás. Noutra linguaxe, permítennos supoñer que o plano é homoxéneo, é dicir, que podemos pasar dun punto a outro mediante un movemento ríxido –unha combinación de translacións e rotacións– que respecta a distancia usual. Polo contrario, no semiplano, non podemos usar nin o compás, nin a regra, agás en posición horizontal. As translacións horizontais son os únicos movementos permitidos. Pero se lles engadimos dilatacións ou contraccións homotéticas –resultado de multiplicar o ancho e o alto por constantes maiores ou menores que 1–, o semiplano será homoxéneo, aínda que os novos movementos non respectan a distancia usual. O modelo de Poincaré do plano hiperbólico constrúese modificando a distancia de maneira que non varíe ao aplicarlle unha combinación de translacións horizontais e homotecias. As rectas euclidianas se transforman en semirrectas verticais ou semicircunferencias. Podémolas pensar como «rectas hiperbólicas», pois realizan o camiño máis curto entre dous puntos. Ademais o tempo necesario para chegar ao bordo do semiplano –o seu infinito– é infinito. En resumo, a distancia hiperbólica é non euclidiana, homoxénea e completa.
Polo que atangue á consistencia, convén salientar que as xeometrías euclidiana e hiperbólica son igualmente consistentes, pois ambas posúen modelos construídos a partir dos números reais. Hai outros argumentos nos traballos de Beltrami e Klein. Por outra banda, nun apéndice do seu libro Grundlagen der Geometrie [21], David Hilbert demostra que a xeometría hiperbólica elemental –à maneira dos gregos, con regra e compás, sen usar o axioma de continuidade– é consistente. Logo a «demanda de Fundamento» é satisfeita. En contra dunha idea moi estendida, o teorema de Gödel no significou ningunha crise para as matemáticas, senón só para unha determinada concepción das matemáticas. Desde a perspectiva dun matemático en activo, foi unha sorte para as matemáticas.
No ensaio antes mencionado, Eladio Dieste lembra un comentario dun matemático profesional –probabelmente o uruguaio José Luis Massera– sobre a obra xeométrica de Rafael Dieste: «Que alguien sin una sólida formación matemática haya podido escribir esto es un portento, pero un portento inútil». O cualificativo de portento parece referirse á capacidade técnica de Rafael Dieste. Efectivamente é singular, pero o verdadeiro portento está na súa capacidade para intuír o núcleo do problema. Xunto ao oficio, unha boa formación académica proporciona coñecementos importantes, case sempre orais e difíciles de acadar doutra maneira. Na época na que Dieste se interesou polo problema do paralelismo, case todos os libros sobre as xeometrías non euclidianas adoptaban o punto de vista proxectivo de Klein ou o axiomático de Hilbert. Houbo que esperar aos anos 70 do século pasado para que os traballos orixinais de Beltrami e Poincaré –que Dieste houbese apreciado– recobrarán a súa importancia nos medios universitarios. Logo non sorprende que as lecturas de Dieste –sobre todo as que máis influíron na súa concepción do paralelismo– non foran as máis recomendábeis para entender as xeometrías non euclidianas [22]. A definición axiomática de movemento formulada por David Hilbert no seu libro Grundlagen der Geometrie é moi insatisfactoria. En canto ao capítulo de cinemática do libro Anschauliche Geometrie (Springer, Berlin, 1932) de David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen [23] non fai senón confundir sobre a verdadeira natureza do movemento en xeometría. É posíbel que isto influíra na idea exposta por Dieste no Nuevo tratado del paralelismo, retomada despois no Testamento geométrico dun xeito máis matizado, sobre certa lóxica temporal do movemento xeométrico. Agora ben, desde un punto de vista xeométrico, nin a noción de movemento, nin a propiedade de homoxeneidade –que sustenta a Libre Mobilidade– presupoñen ningunha lóxica temporal, aínda que iso non signifique que poidan ou deban excluírse outras consideracións relativas ao tempo, de natureza dinámica máis que cinemática. Voltando as referencias citadas por Dieste no seu Testamento Geométrico, unha desas obras –Les Géométries de Lucien Godeaux– móstranos a natureza do erro de Dieste, resultado talvez dunha mala interpretación dunha frase desafortunada. A frase –«La géométrie euclidienne a comme groupe principal le groupe des similitudes de l’espace»– non é certa se se interpreta nun sentido literal. Pero Dieste supuxo que o grupo dos movementos ríxidos do plano era «pre-euclidiano», é dicir, previo ao uso do V postulado de Euclides, cando polo contrario ese grupo é característico da xeometría euclidiana. Que alguén sen formación académica cometa este erro é fácil. Pero a cuestión é outra: ¿como chegou Dieste a entender a importancia dos grupos de transformacións na xeometría? Velaí o portento.
No seu libro La teoría estética, teatral y literaria de Rafael Dieste (USC, Santiago de Compostela, 1997), Arturo Casas sinala un aspecto importante da obra matemática de Dieste: «la soledad de una investigación llevada a cabo al margen de estructuras académicas y universitarias, con la posterior dificultad —que es un signo fatal de la peripecia intelectual de Dieste— para hallar interlocutor». Uns poucos kilómetros separan os campos de Saint Cyprien e Argelès-sur-mer onde foran internados Rafael Dieste e Luis A. Santaló [24] en 1939. Desde entón, os seus destinos parecen estar unidos polos encontros e mais os desencontros: exilio en Arxentina, actividade docente na Plata, envío do Nuevo tratado del paralelismo e contacto a través dalgún amigo común, rexeitamento do libro que reunía Variaciones sobre Zenón de Elea e Tres investigaciones geométricas e publicación do libro Geometrías no euclidianas de Santaló pola Editorial Universitaria de Buenos Aires, intercambio de correspondencia a través de Gabriel Zaid. Varias cartas de Rafael Dieste dirixidas a Gabriel Zaid e Eladio Dieste dan idea do contido do Diálogo de los Detectives, aparentemente perdido, que debía acompañar ao Tratado Mínimo [25]. Emporiso, non hai ningún misterio no relato –en parte ditado polo propio Dieste– que nos fai Zaid [26], pois é frecuente en matemáticas que varios autores demostren un mesmo teorema, incluso ao mesmo tempo e do mesmo xeito, sen que apareza unha atribución concreta a un autor. Isto non é raro cando un resultado non se publica nas revistas especializadas e se transmite de maneira oral ou se publica en libros destinados á docencia ou á divulgación. É o que no argot profesional se coñece como folclore. A proposición XXXVI do Nuevo tratado del paralelismo e o teorema enunciado no terceiro parágrafo das Tres demostraciones del V Postulado afirman que un par de rectas asintóticas é sempre congruente con calquera outro par de rectas asintóticas. Ese mesmo teorema foi enunciado por Norden, Coxeter e Santaló nas obras citadas, publicadas entre 1953 e 1961. É unha proba máis do talento de Dieste, pero só iso. Cando se contemplan os feitos que motivan a polémica entre Rafael Dieste e Luis A. Santaló, o intercambio de cartas a través de Eladio Dieste e Gabriel Zaid, a reacción é dual. Asombra a vitalidade intelectual do exilio republicano, pero entristece un episodio que semella ser a metáfora doutros desencontros máis importantes. E nunca puido imaxinar Dieste un mellor interlocutor que Santaló.
Portento e soidade conforman a primeira parte da apreciación de Massera sobre a obra xeométrica de Dieste, pero é a inutilidade do portento o que constitúe a parte esencial da súa declaración. E isto, que podería parecer natural á vista da entrega apaixonada, case obsesiva, de Dieste na busca dunha demostración do V postulado, sorprende nun matemático. Porque cando se aborda a resolución dun problema matemático, sobre todo cando ten verdadeira substancia, non hai ningunha garantía de logralo. As teses doutorais en matemáticas no terán xamais unha duración definida pola mesma razón que é imposíbel coñecer o final dunha aventura. Que a aventura sexa intelectual non cambia nada: non podemos saber cando acabaremos e nin sequera se o faremos. E ningunha aventura guiada polo devezo de coñecemento é inútil para os seus protagonistas. No caso de Dieste, non necesitamos elucubrar sobre a utilidade persoal ou a importancia vital da súa aventura xeométrica, pois dispoñemos do seu propio testemuño, íntimo no seu epistolario, público nas súas conferencias [27]. Con todo, Massera fala doutra utilidade. Hoxe, no que semella unha volta á orixe, moitas das grandes cuestións da filosofía atópanse nos textos de física, química, bioloxía ou matemáticas. ¿Pódese concibir o pensamento actual sen citar a Erwin Schrödinger, Richard Feynman, Ilya Prigogine, Jacques Monod, Francis Crick, Henri Poincaré ou Norbert Wiener? Penso que non. Por iso, aínda lonxe do final da ciencia anunciado por Hawking, os libros de Dieste nos interpelan sobre dous temas actuais e cruciais, «Mundo» e «Entendemento». É a súa forza e pouco importa que as súas ideas concretas sobre a xeometría do plano ou a natureza do espazo físico sexan correctas ou non. Nunha época onde a aparencia de coñecemento adoita ser máis importante que o propio coñecemento, a entrega de Dieste ao estudio da xeometría é exemplar. Rafael Dieste encarna cunha obra chea de facianas distintas toda a vitalidade intelectual dunha xeración á que lle debemos cando menos o tributo da memoria.
Como lle ocorre a Eladio Dieste na revisión da obra xeométrica do seu tío, a cuestión da linguaxe lévanos a outra cuestión máis persoal, relativa á postura fronte ás matemáticas. Unha vez máis é Eladio Dieste quen mostra con claridade a posición que ambos comparten: «Nosotros creemos que nuestra relación con el mundo es algo más de lo que puede lograr la “fábrica de tautologías” a que ese epílogo se refire [epílogo do libro Matemáticas e Imaginación de Kasner y Newman, citado por Eladio Dieste, onde se defende unha concepción formalista da matemática]; se parece más al acto de “ver” que a la creación de una suerte de contabilidad universal del conocimiento cuya aplicabilidad a lo real tendría que ser objeto de un nuevo y gran postulado. […] Toda esa mentalidad, que se expresa en lo que se llama positivismo lógico, preocupaba a Rafael Dieste desde su juventud y le parecía un patético error, un error filosófico y hasta un error en la estrategia del conocimiento». Ao longo do século XIX, prodúcese un cambio importante na maneira de facer matemáticas, substituíndose o método construtivo polo estudio das relacións entre obxectos asumidos como existentes. Onde Euclides formulaba un problema –«trazar unha recta por un punto que sexa paralela a unha recta dada» [10]–, afírmase agora existencia –hai unha recta con esa propiedade–. Ao mesmo tempo desenvólvense novos métodos, baseados no concepto de conxunto infinito, que dan lugar a resultados cada vez máis potentes, aínda que simultaneamente xurden paradoxos derivados de interpretacións demasiado libres desa noción. Desta maneira, a finales do século XIX, faise evidente a necesidade de abordar o problema dos fundamentos da matemática. Isto vai determinar diversas posturas respecto á existencia dos obxectos matemáticos. Hai un platonismo matemático referido ao tipo de obxectos postulados: a totalidade dos números naturais no suposto máis feble ou calquera conxunto –finito ou infinito– no suposto máis forte. Adoita escoitarse que os matemáticos en activo profesan o platonismo os días hábiles e o formalismo os festivos, é dicir, asumen como realmente existentes os obxectos cos que traballan, aínda que, ante a presión dos filósofos, non teñen reparo en aceptar que a matemática é un xogo de símbolos carentes de significado. Pero hai outro platonismo de carácter filosófico, esbozado na cita previa de Roger Penrose e invocado no texto de Eladio Dieste. As súas palabras enlazan coas dirixidas polo seu tío a Gabriel Zaid: «La gente, aun la que puede recitar alguna de las varias formulaciones del V Postulado, tiende a asimilar su posible discusión a la de un “problema particular” […] De ahí la conveniencia de hacer visible la amplitud del problema. Este no sólo afecta a la Geometría en su totalidad (así como al posible modo de entender el Entendimiento), sino también a la noción del Mundo, que incluye –o demanda– la de Fundamento». Responder a esa demanda de fundamento foi a tarefa emprendida polo movemento formalista –liderado polo gran matemático David Hilbert– a finais do século XIX. A idea de Hilbert era converter o problema da «existencia matemática». nun problema matemático, interpretándoa como «consistencia» ou «ausencia de contradición». Unha vez fixadas as regras permitidas nunha área da matemática, incluíndo calquera forma válida de razoamento matemático, a proba dun resultado reduciríase á comprobación mecánica da correcta aplicación desas regras e nese caso o resultado sería «verdadeiro» –un teorema do sistema formal considerado–. Consonte ao formalismo estrito, a matemática reduciríase a unha mera dedución formal –unha «fábrica de tautoloxías» segundo a expresión de Eladio Dieste–. Non obstante, Kurt Gödel demostrou en 1930 que o sono formalista era inalcanzábel [11]. O seu platonismo –moito máis sutil que o mostrado por outros matemáticos célebres como Georg Cantor– non será alleo à súa proba. Gödel sostén que os obxectos matemáticos poden concibirse como obxectos reais coa mesma lexitimidade que os obxectos físicos, entendendo que estes son un produto teórico das nosas percepcións sensíbeis. Aínda que a súa orixe non é perceptual, representan un aspecto da realidade obxectiva que aprehendemos por un mecanismo distinto ao mecanismo das sensacións. Segundo Gödel, non hai razón para ter menos confianza nese outro tipo de percepción –a intuición matemática– que na percepción sensíbel [12]. No prólogo do Nuevo tratado del paralelismo faise visíbel a proximidade das ideas de Dieste coas ideas de Gödel esbozadas antes. Por iso decepciona que o interese de Dieste se limitara á hipotética inconsistencia das xeometrías no euclidianas [13].
A lectura de quen remprazou a Einstein no imaxinario popular como icona científica móstranos o alcance do «erro filosófico» que preocupaba a Dieste. Co seu habitual descaro, Stephen Hawking declara: «son un positivista que cre que as teorías físicas son simplemente modelos matemáticos que construímos nós, e que é absurdo preguntarse se se corresponden coa realidade; só hai que cuestionarse se predin ou non observacións» [14]. Segundo iso, non era preciso cambiar a teoría xeocéntrica de Ptolomeo pola teoría heliocéntrica de Copérnico. De feito, como indica Antonio Escohotado no seu libro Caos y orden (Espasa, Madrid, 1999), semellante criterio houbese aconsellado substituír a astronomía copernicana pola astroloxía maia. É curioso que as declaracións de positivismo ou empirismo sirvan a miúdo de coartada á formulación de conxecturas en conflicto coa observación [15] ou á escatoloxía [16].
Chegados a este punto, quizais conveña explicar con detalle cal foi o propósito das investigacións xeométricas de Rafael Dieste, lembrando o enunciado do V postulado de Euclides. Na súa formulación usual, que non se corresponde coa orixinal de Euclides (c. 360-280 a.C.), senón con outra posterior de Proclo de Licia (410-485 d.C.), este postulado afirma que por un punto exterior a unha recta dada pasa unha única recta paralela [17]. Durante máis de dous mil anos, houbo innumerábeis intentos de probalo a partir dos outros postulados euclidianos. Esa foi tamén a pretensión de Rafael Dieste. Quede claro que ningunha desas demostracións foi correcta, nin ningunha o será xamais. Non parece útil lembrar agora a historia do V postulado de Euclides ou a orixe das xeometrías non euclidianas a mediados de século XIX. A bibliografía sobre o tema é abondosa. Chéganos con sinalar que a invención da «xeometría imaxinaria» por Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) é froito desas demostracións erróneas [18]. Por outra banda, moitas propiedades das xeometrías non euclidianas xa eran coñecidas polos que, pretendendo demostrar o V postulado, exploraron as consecuencias da súa negación [19]. Non obstante, a visión actual da xeometría hiperbólica baséase nas contribucións posteriores de Eugenio Beltrami (1835-1900), Felix Klein (1849-1925) e Henri Poincaré (1854-1912).
En principio, é fácil construír un espazo con esa xeometría. De feito, a cosmovisión grega arcaica responde a varios modelos de xeometría hiperbólica, e non euclidiana como talvez cabería esperar. Se pensamos na Terra como un disco plano, limitado por un abismo circular, entón por un punto q exterior a unha recta R pasan dúas paralelas P1 y P2 mostradas na primeira figura. En realidade, R posúe unha infinidade de paralelas P. Hai outra imaxe do universo, representada nunha célebre copa laconia conservada no Museo Vaticano e onde Atlante soporta a bóveda do ceo, que non é moi diferente da descrición de Beltrami do modelo proxectivo de Klein [20]. Desde un punto de vista matemático, é máis cómodo usar o semiplano que o disco. Se nos quedamos co semiplano, a xeometría perde o seu carácter euclidiano, pois hai infinitas rectas paralelas á recta R que pasan polo punto q. ¿Que ocorre cos outros postulados? En principio, cúmprense sempre que interpretemos literalmente as definicións euclidianas. Agora ben, algúns deses postulados teñen como propósito garantir o uso da regra e do compás. Noutra linguaxe, permítennos supoñer que o plano é homoxéneo, é dicir, que podemos pasar dun punto a outro mediante un movemento ríxido –unha combinación de translacións e rotacións– que respecta a distancia usual. Polo contrario, no semiplano, non podemos usar nin o compás, nin a regra, agás en posición horizontal. As translacións horizontais son os únicos movementos permitidos. Pero se lles engadimos dilatacións ou contraccións homotéticas –resultado de multiplicar o ancho e o alto por constantes maiores ou menores que 1–, o semiplano será homoxéneo, aínda que os novos movementos non respectan a distancia usual. O modelo de Poincaré do plano hiperbólico constrúese modificando a distancia de maneira que non varíe ao aplicarlle unha combinación de translacións horizontais e homotecias. As rectas euclidianas se transforman en semirrectas verticais ou semicircunferencias. Podémolas pensar como «rectas hiperbólicas», pois realizan o camiño máis curto entre dous puntos. Ademais o tempo necesario para chegar ao bordo do semiplano –o seu infinito– é infinito. En resumo, a distancia hiperbólica é non euclidiana, homoxénea e completa.
Polo que atangue á consistencia, convén salientar que as xeometrías euclidiana e hiperbólica son igualmente consistentes, pois ambas posúen modelos construídos a partir dos números reais. Hai outros argumentos nos traballos de Beltrami e Klein. Por outra banda, nun apéndice do seu libro Grundlagen der Geometrie [21], David Hilbert demostra que a xeometría hiperbólica elemental –à maneira dos gregos, con regra e compás, sen usar o axioma de continuidade– é consistente. Logo a «demanda de Fundamento» é satisfeita. En contra dunha idea moi estendida, o teorema de Gödel no significou ningunha crise para as matemáticas, senón só para unha determinada concepción das matemáticas. Desde a perspectiva dun matemático en activo, foi unha sorte para as matemáticas.
No ensaio antes mencionado, Eladio Dieste lembra un comentario dun matemático profesional –probabelmente o uruguaio José Luis Massera– sobre a obra xeométrica de Rafael Dieste: «Que alguien sin una sólida formación matemática haya podido escribir esto es un portento, pero un portento inútil». O cualificativo de portento parece referirse á capacidade técnica de Rafael Dieste. Efectivamente é singular, pero o verdadeiro portento está na súa capacidade para intuír o núcleo do problema. Xunto ao oficio, unha boa formación académica proporciona coñecementos importantes, case sempre orais e difíciles de acadar doutra maneira. Na época na que Dieste se interesou polo problema do paralelismo, case todos os libros sobre as xeometrías non euclidianas adoptaban o punto de vista proxectivo de Klein ou o axiomático de Hilbert. Houbo que esperar aos anos 70 do século pasado para que os traballos orixinais de Beltrami e Poincaré –que Dieste houbese apreciado– recobrarán a súa importancia nos medios universitarios. Logo non sorprende que as lecturas de Dieste –sobre todo as que máis influíron na súa concepción do paralelismo– non foran as máis recomendábeis para entender as xeometrías non euclidianas [22]. A definición axiomática de movemento formulada por David Hilbert no seu libro Grundlagen der Geometrie é moi insatisfactoria. En canto ao capítulo de cinemática do libro Anschauliche Geometrie (Springer, Berlin, 1932) de David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen [23] non fai senón confundir sobre a verdadeira natureza do movemento en xeometría. É posíbel que isto influíra na idea exposta por Dieste no Nuevo tratado del paralelismo, retomada despois no Testamento geométrico dun xeito máis matizado, sobre certa lóxica temporal do movemento xeométrico. Agora ben, desde un punto de vista xeométrico, nin a noción de movemento, nin a propiedade de homoxeneidade –que sustenta a Libre Mobilidade– presupoñen ningunha lóxica temporal, aínda que iso non signifique que poidan ou deban excluírse outras consideracións relativas ao tempo, de natureza dinámica máis que cinemática. Voltando as referencias citadas por Dieste no seu Testamento Geométrico, unha desas obras –Les Géométries de Lucien Godeaux– móstranos a natureza do erro de Dieste, resultado talvez dunha mala interpretación dunha frase desafortunada. A frase –«La géométrie euclidienne a comme groupe principal le groupe des similitudes de l’espace»– non é certa se se interpreta nun sentido literal. Pero Dieste supuxo que o grupo dos movementos ríxidos do plano era «pre-euclidiano», é dicir, previo ao uso do V postulado de Euclides, cando polo contrario ese grupo é característico da xeometría euclidiana. Que alguén sen formación académica cometa este erro é fácil. Pero a cuestión é outra: ¿como chegou Dieste a entender a importancia dos grupos de transformacións na xeometría? Velaí o portento.
No seu libro La teoría estética, teatral y literaria de Rafael Dieste (USC, Santiago de Compostela, 1997), Arturo Casas sinala un aspecto importante da obra matemática de Dieste: «la soledad de una investigación llevada a cabo al margen de estructuras académicas y universitarias, con la posterior dificultad —que es un signo fatal de la peripecia intelectual de Dieste— para hallar interlocutor». Uns poucos kilómetros separan os campos de Saint Cyprien e Argelès-sur-mer onde foran internados Rafael Dieste e Luis A. Santaló [24] en 1939. Desde entón, os seus destinos parecen estar unidos polos encontros e mais os desencontros: exilio en Arxentina, actividade docente na Plata, envío do Nuevo tratado del paralelismo e contacto a través dalgún amigo común, rexeitamento do libro que reunía Variaciones sobre Zenón de Elea e Tres investigaciones geométricas e publicación do libro Geometrías no euclidianas de Santaló pola Editorial Universitaria de Buenos Aires, intercambio de correspondencia a través de Gabriel Zaid. Varias cartas de Rafael Dieste dirixidas a Gabriel Zaid e Eladio Dieste dan idea do contido do Diálogo de los Detectives, aparentemente perdido, que debía acompañar ao Tratado Mínimo [25]. Emporiso, non hai ningún misterio no relato –en parte ditado polo propio Dieste– que nos fai Zaid [26], pois é frecuente en matemáticas que varios autores demostren un mesmo teorema, incluso ao mesmo tempo e do mesmo xeito, sen que apareza unha atribución concreta a un autor. Isto non é raro cando un resultado non se publica nas revistas especializadas e se transmite de maneira oral ou se publica en libros destinados á docencia ou á divulgación. É o que no argot profesional se coñece como folclore. A proposición XXXVI do Nuevo tratado del paralelismo e o teorema enunciado no terceiro parágrafo das Tres demostraciones del V Postulado afirman que un par de rectas asintóticas é sempre congruente con calquera outro par de rectas asintóticas. Ese mesmo teorema foi enunciado por Norden, Coxeter e Santaló nas obras citadas, publicadas entre 1953 e 1961. É unha proba máis do talento de Dieste, pero só iso. Cando se contemplan os feitos que motivan a polémica entre Rafael Dieste e Luis A. Santaló, o intercambio de cartas a través de Eladio Dieste e Gabriel Zaid, a reacción é dual. Asombra a vitalidade intelectual do exilio republicano, pero entristece un episodio que semella ser a metáfora doutros desencontros máis importantes. E nunca puido imaxinar Dieste un mellor interlocutor que Santaló.
Portento e soidade conforman a primeira parte da apreciación de Massera sobre a obra xeométrica de Dieste, pero é a inutilidade do portento o que constitúe a parte esencial da súa declaración. E isto, que podería parecer natural á vista da entrega apaixonada, case obsesiva, de Dieste na busca dunha demostración do V postulado, sorprende nun matemático. Porque cando se aborda a resolución dun problema matemático, sobre todo cando ten verdadeira substancia, non hai ningunha garantía de logralo. As teses doutorais en matemáticas no terán xamais unha duración definida pola mesma razón que é imposíbel coñecer o final dunha aventura. Que a aventura sexa intelectual non cambia nada: non podemos saber cando acabaremos e nin sequera se o faremos. E ningunha aventura guiada polo devezo de coñecemento é inútil para os seus protagonistas. No caso de Dieste, non necesitamos elucubrar sobre a utilidade persoal ou a importancia vital da súa aventura xeométrica, pois dispoñemos do seu propio testemuño, íntimo no seu epistolario, público nas súas conferencias [27]. Con todo, Massera fala doutra utilidade. Hoxe, no que semella unha volta á orixe, moitas das grandes cuestións da filosofía atópanse nos textos de física, química, bioloxía ou matemáticas. ¿Pódese concibir o pensamento actual sen citar a Erwin Schrödinger, Richard Feynman, Ilya Prigogine, Jacques Monod, Francis Crick, Henri Poincaré ou Norbert Wiener? Penso que non. Por iso, aínda lonxe do final da ciencia anunciado por Hawking, os libros de Dieste nos interpelan sobre dous temas actuais e cruciais, «Mundo» e «Entendemento». É a súa forza e pouco importa que as súas ideas concretas sobre a xeometría do plano ou a natureza do espazo físico sexan correctas ou non. Nunha época onde a aparencia de coñecemento adoita ser máis importante que o propio coñecemento, a entrega de Dieste ao estudio da xeometría é exemplar. Rafael Dieste encarna cunha obra chea de facianas distintas toda a vitalidade intelectual dunha xeración á que lle debemos cando menos o tributo da memoria.
[1] Rafael Dieste, Tres preguntas a Rafael Dieste, en Encontros e Vieiros, edición e limiar de Arturo Casas, Ediciós do Castro, Sada, 1990, pp. 213-247.
[2] Rafael Dieste, Obras completas: Epistolario, edición de Xosé Luís Axeitos, Ediciós do Castro, Sada, 1995, cartas 517, 566 e 576.
[3] «Hace algún tiempo comencé a poner en orden algunas cosas que pensaba someter a tu juicio y, como consecuencia, me vi de pronto metido en gran navegación, que no me parecía honesto abandonar con susto y de cualquier manera… Por otra parte me parece que no hubiera podido. Era algo así como un deber con todo el sello de la fatalidad, o una fatalidad digna de confianza, con toda la transparencia moral de esos deberes no codificados, venidos imperiosamente de allá dentro. Es misterioso –y otro cualquiera se hubiese escamado– que se tratase de problemas geométricos. Yo no soñaba que pudiesen incumbirme; pero luego he ido viendo que, por lo menos me afectaban. Te contaré alguna vez el proceso –intuiciones, móviles, caminos– e incluso la novela, pues hay también en el asunto aspectos novelescos». Carta a Otero Espasandín, Cambridge, 5 de setembro de 1951, op. cit., carta 221.
[4] Carta a Juan Sebastián Dieste, Buenos Aires, 11 de marzo de 1959, op. cit., carta 310.
[5] Eladio Dieste, Sobre las investigaciones geométricas de Rafael Dieste, en Rafael Dieste. La creación como el puro amanecer constante de la palabra. Documentos A, 1 (1991), pp. 133-138.
[6] Einstein describiu un universo estático, finito e ilimitado en Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie (Preussische Akademie der Wissenschaften, 1917, pp. 142-152), pero a divulgación da súa idea debeuse a un texto posterior, publicado en 1920. A orixe da expresión de Einstein atópase na distinción entre «ilimitado» («unbegrenzt») e «infinito» («unendlich») que fixo Bernhard Riemann na sua memoria de habilitación Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, lida en 1854, pero publicada en 1868 tras a súa morte. A pesar dos matices introducidos por Riemann, trátase dunha terminoloxía desafortunada tanto se pensamos no universo coma no exemplo invocado por Riemann e Einstein. Nin a esfera bidimensional, nin os modelos xeométricos do espazo-tempo son finitos, pois conteñen rexións descritas por mapas bi ou tetradimensionais cunha infinidade de posicións distintas. Chamar «ilimitada» a unha esfera choca cunha propiedade que a distingue do plano, a saber que o largo, o ancho e o alto están limitados, razón pola que dise limitada. Para que a analoxía entre a esfera e o universo teña sentido, temos que pensar nela como un todo e nos abstermos de usar propiedades que dependan da súa inclusión nun espazo máis grande. Por fortuna, o carácter limitado da esfera é consecuencia dunha propiedade intrínseca, chamada compacidade, que implica área finita. O termo «ilimitado» fai referencia á ausencia de límite ou bordo. É outra noción relativa: o todo non ten límite. Unha esfera e un plano son distintos dunha porción limitada do plano por seren espazos completos, nos que precisamos un tempo infinito para chegar ao infinito. En realidade, Riemann e Einstein chaman «espazos finitos e ilimitados» ás versións multidimensionais das superficies compactas sen bordo.
[7] Véxase o relato da invención do Big Bang que fai J. P. Luminet no limiar L’Invention du Big-Bang do libro A. Friedmann, G. Lemaître, Essais de cosmologie (con tradución e notas de J. P. Luminet e A. Grib) publicado por Le Seuil en 1997.
[8] A. Einstein, W. de Sitter, On the Relation between the Expansion and the Mean Density of the Universe, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. XVIII (1932), pp. 213-214.
[9] O físico e matemático Roger Penrose ofrécenos un exemplo interesante de como a postura filosófica dun autor condiciona a súa concepción do universo. En desacordo co modelo estándar inflacionario, Penrose sostén que a estructura local do espazo-tempo é de tipo conforme plano, pero a súa parte espacial hiperbólica. Trátase dunha idea razoábel e suxerinte. Unha frase do seu libro Lo grande, lo pequeño y la mente humana (Cambridge University Press, Madrid, 1999) resume ben a súa postura: «Canto mellor entendemos o mundo físico, e máis profundamente sondamos as leis da natureza, máis nos parece que a realidade física evapórase ata quedarmos só coas matemáticas».
[10] Proposición 31 do Libro I dos Elementos (Editorial Gredos, Madrid, 1991).
[11] O famoso teorema de incompletitude de Gödel mostra que a consistencia dun sistema formal que conteña á aritmética elemental non é un teorema do sistema –non podemos afirmar que sexa «verdadeiro»– e daquela o sistema non é completo. Como acontece o mesmo coa negación, a consistencia é «indicíbel» se nos limitamos ás regras do sistema.
[12] Véxase Kurt Gödel, Obras completas, Alianza, Madrid, 1981.
[13] A correspondencia entre Dieste e Zaid contén varias referencias ao teorema de Gödel, un tema que tamén está presente nos traballos de Zaid sobre a obra xeométrica de Dieste. Citemos ¿Qué es un axioma? –un texto de 1968 reproducido en Rafael Dieste. La creación como el puro amanecer constante de la palabra, Documentos A, 1 (1991), 181-122–, A integridade creadora –en Lembrando a Rafael Dieste, Grial, 78 (1982), 434-436–, Dieste en los fundamentos de la geometría –en Documentos A, 1 (1991), 130-132–, Do ensaio á Xeometría –en Era un tempo de entusiasmo…, A Nosa Cultura, 15 (1995), 63-66– e Identidad y geometría en Rafael Dieste –publicado nas Actas do Congreso Rafael Dieste, Xunta de Galicia, Santiago de Compostela, 1995–.
[14] Las objeciones de un reduccionista descarado, apéndice do libro Lo grande, lo pequeño y la mente humana (Cambridge University Press, Madrid, 1999) de Roger Penrose.
[15] Na súa conferencia Inflaction: An Open and Shut Case, Hawking danos un exemplo –«Pese a eses indicios dun universo de baixa densidade e constante lambda, seguía pensando que a constante cosmolóxica era nula e a idea da ausencia de bordo implicaba que o universo debía ser pechado»–, precedido dunha xustificación –«como Eddington dixo unha vez, se a túa teoría non concorda coas observacións, non te preocupes. As observacións son probabelmente erróneas»–.
[16] Segundo Hawking, «estamos chegando ao final da busca das leis últimas da natureza». Escohotado propón relativizar esta afirmación lembrando o que dicía lord Kelvin en 1898: «Hoxe a física forma, esencialmente, un conxunto perfectamente harmonioso, ¡un conxunto practicamente acabado!». Nese momento, Poincaré impartía un curso na Sorbonne no que establecía as bases para a posterior formulación en 1904 do principio de relatividade.
[17] Euclides formula o seu postulado da seguinte maneira: «E se unha recta ao incidir sobre dous rectas fai os ángulos internos do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, daquela as dúas rectas prolongadas indefinidamente encontráranse nese mesmo lado». Aínda que o enunciado de Proclo –atribuído na literatura anglosaxona a John Playfair– é moi similar á proposición 31 do Libro I, trátase de dúas afirmacións diferentes. Se facemos unha interpretación literal do seu enunciado, ese resultado é propio da xeometría absoluta, é dicir, independente do V postulado. Non obstante, se facemos como Euclides e supoñemos que o punto é exterior á recta, entón o resultado non é certo no caso esférico.
[18] Trátase en realidade de propiedades equivalentes ao V postulado. Así, nun plano euclidiano, a suma dos ángulos dun triángulo é igual a dous rectos. Nunha esfera, a suma dos ángulos é maior que dous rectos. Unha suma menor que dous rectos corresponde ao caso da xeometría hiperbólica. En ambas xeometrías, elíptica –ou esférica– e hiperbólica, as áreas dos triángulos son proporcionais ao exceso ou defecto angular. Polo contrario, no caso da xeometría parabólica ou euclidiana, hai triángulos semellantes de área arbitraria. Outra propiedade equivalente ao postulado euclidiano é o teorema pitagórico que relaciona as lonxitudes da hipotenusa e dos dous catetos dun triángulo.
[19] Gran parte do estudio das xeometrías non euclidianas débese a autores como Girolamo Saccheri (1667-1733), Johann Heinrich Lambert (1728-1777), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ou Johann Karl Friedrich Gauss (1775-1856), anteriores aos seus inventores Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) e János Bolyai (1802-1860).
[20] Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali di Matematica pura ed applicata, II (1868), 232-255. Hai unha tradución inglesa comentada no libro Sources of Hyperbolic Geometry de John Stillwell, publicado pola American Mathematical Society en 1996.
[21] Appendix III, Foundations of geometry (Second edition, Translated from the tenth German edition by Leo Unger, Open Court, LaSalle, 1971).
[22] Dous libros, ambos recomendados por Santaló, supoñen unha excepción. O primeiro é Elementäre Einführung in die Lobarschewskische Geometrie (VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1958) de A. P. Norden, tradución do orixinal ruso de 1953. En 1963, Rafael Dieste envioulle un exemplar do Nuevo tratado ao seu autor por medio de Rafael Alberti. O segundo é Fundamentos de Geometría (Ed. Limusa-Wiley S.A., México D.F., 1971) de H. S. M. Coxeter, tradución da edición orixinal Introduction to Geometry (John Wiley & Sons, New York 1961).
[23] No Testamento geométrico, Rafael Dieste refírese á tradución inglesa Geometry and the imagination (Chelsea Publishing Company, New York, 1952).
[24] Luis A. Santaló (Girona 1911, Buenos Aires 2002) é un dos mellores matemáticos españois de todos os tempos, aínda que adoptou a nacionalidade arxentina en 1947. En 1983 recibiu o Premio Principe de Asturias de Investigación Científica.
[25] Véxase a carta 382, dirixida a Gabriel Zaid e datada o 12 de xuño de 1963 en Rianxo, nas Obras completas: Epistolario. Edición de Xosé Luís Axeitos, Ediciós do Castro, Sada, 1995.
[26] Véxanse os escritos sobre a obra diestiana citados con anterioridade.
[27] Véxase a charla na Sociedade de Cultura Valle Inclán de Ferrol citada ao comezo ou as respostas agrupadas baixo o título «O matemático ao seu pesar» no libro Entrevistas con R. Dieste (Nigra, Vigo, 1994) compilado por Marga Romero.
[2] Rafael Dieste, Obras completas: Epistolario, edición de Xosé Luís Axeitos, Ediciós do Castro, Sada, 1995, cartas 517, 566 e 576.
[3] «Hace algún tiempo comencé a poner en orden algunas cosas que pensaba someter a tu juicio y, como consecuencia, me vi de pronto metido en gran navegación, que no me parecía honesto abandonar con susto y de cualquier manera… Por otra parte me parece que no hubiera podido. Era algo así como un deber con todo el sello de la fatalidad, o una fatalidad digna de confianza, con toda la transparencia moral de esos deberes no codificados, venidos imperiosamente de allá dentro. Es misterioso –y otro cualquiera se hubiese escamado– que se tratase de problemas geométricos. Yo no soñaba que pudiesen incumbirme; pero luego he ido viendo que, por lo menos me afectaban. Te contaré alguna vez el proceso –intuiciones, móviles, caminos– e incluso la novela, pues hay también en el asunto aspectos novelescos». Carta a Otero Espasandín, Cambridge, 5 de setembro de 1951, op. cit., carta 221.
[4] Carta a Juan Sebastián Dieste, Buenos Aires, 11 de marzo de 1959, op. cit., carta 310.
[5] Eladio Dieste, Sobre las investigaciones geométricas de Rafael Dieste, en Rafael Dieste. La creación como el puro amanecer constante de la palabra. Documentos A, 1 (1991), pp. 133-138.
[6] Einstein describiu un universo estático, finito e ilimitado en Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie (Preussische Akademie der Wissenschaften, 1917, pp. 142-152), pero a divulgación da súa idea debeuse a un texto posterior, publicado en 1920. A orixe da expresión de Einstein atópase na distinción entre «ilimitado» («unbegrenzt») e «infinito» («unendlich») que fixo Bernhard Riemann na sua memoria de habilitación Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, lida en 1854, pero publicada en 1868 tras a súa morte. A pesar dos matices introducidos por Riemann, trátase dunha terminoloxía desafortunada tanto se pensamos no universo coma no exemplo invocado por Riemann e Einstein. Nin a esfera bidimensional, nin os modelos xeométricos do espazo-tempo son finitos, pois conteñen rexións descritas por mapas bi ou tetradimensionais cunha infinidade de posicións distintas. Chamar «ilimitada» a unha esfera choca cunha propiedade que a distingue do plano, a saber que o largo, o ancho e o alto están limitados, razón pola que dise limitada. Para que a analoxía entre a esfera e o universo teña sentido, temos que pensar nela como un todo e nos abstermos de usar propiedades que dependan da súa inclusión nun espazo máis grande. Por fortuna, o carácter limitado da esfera é consecuencia dunha propiedade intrínseca, chamada compacidade, que implica área finita. O termo «ilimitado» fai referencia á ausencia de límite ou bordo. É outra noción relativa: o todo non ten límite. Unha esfera e un plano son distintos dunha porción limitada do plano por seren espazos completos, nos que precisamos un tempo infinito para chegar ao infinito. En realidade, Riemann e Einstein chaman «espazos finitos e ilimitados» ás versións multidimensionais das superficies compactas sen bordo.
[7] Véxase o relato da invención do Big Bang que fai J. P. Luminet no limiar L’Invention du Big-Bang do libro A. Friedmann, G. Lemaître, Essais de cosmologie (con tradución e notas de J. P. Luminet e A. Grib) publicado por Le Seuil en 1997.
[8] A. Einstein, W. de Sitter, On the Relation between the Expansion and the Mean Density of the Universe, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. XVIII (1932), pp. 213-214.
[9] O físico e matemático Roger Penrose ofrécenos un exemplo interesante de como a postura filosófica dun autor condiciona a súa concepción do universo. En desacordo co modelo estándar inflacionario, Penrose sostén que a estructura local do espazo-tempo é de tipo conforme plano, pero a súa parte espacial hiperbólica. Trátase dunha idea razoábel e suxerinte. Unha frase do seu libro Lo grande, lo pequeño y la mente humana (Cambridge University Press, Madrid, 1999) resume ben a súa postura: «Canto mellor entendemos o mundo físico, e máis profundamente sondamos as leis da natureza, máis nos parece que a realidade física evapórase ata quedarmos só coas matemáticas».
[10] Proposición 31 do Libro I dos Elementos (Editorial Gredos, Madrid, 1991).
[11] O famoso teorema de incompletitude de Gödel mostra que a consistencia dun sistema formal que conteña á aritmética elemental non é un teorema do sistema –non podemos afirmar que sexa «verdadeiro»– e daquela o sistema non é completo. Como acontece o mesmo coa negación, a consistencia é «indicíbel» se nos limitamos ás regras do sistema.
[12] Véxase Kurt Gödel, Obras completas, Alianza, Madrid, 1981.
[13] A correspondencia entre Dieste e Zaid contén varias referencias ao teorema de Gödel, un tema que tamén está presente nos traballos de Zaid sobre a obra xeométrica de Dieste. Citemos ¿Qué es un axioma? –un texto de 1968 reproducido en Rafael Dieste. La creación como el puro amanecer constante de la palabra, Documentos A, 1 (1991), 181-122–, A integridade creadora –en Lembrando a Rafael Dieste, Grial, 78 (1982), 434-436–, Dieste en los fundamentos de la geometría –en Documentos A, 1 (1991), 130-132–, Do ensaio á Xeometría –en Era un tempo de entusiasmo…, A Nosa Cultura, 15 (1995), 63-66– e Identidad y geometría en Rafael Dieste –publicado nas Actas do Congreso Rafael Dieste, Xunta de Galicia, Santiago de Compostela, 1995–.
[14] Las objeciones de un reduccionista descarado, apéndice do libro Lo grande, lo pequeño y la mente humana (Cambridge University Press, Madrid, 1999) de Roger Penrose.
[15] Na súa conferencia Inflaction: An Open and Shut Case, Hawking danos un exemplo –«Pese a eses indicios dun universo de baixa densidade e constante lambda, seguía pensando que a constante cosmolóxica era nula e a idea da ausencia de bordo implicaba que o universo debía ser pechado»–, precedido dunha xustificación –«como Eddington dixo unha vez, se a túa teoría non concorda coas observacións, non te preocupes. As observacións son probabelmente erróneas»–.
[16] Segundo Hawking, «estamos chegando ao final da busca das leis últimas da natureza». Escohotado propón relativizar esta afirmación lembrando o que dicía lord Kelvin en 1898: «Hoxe a física forma, esencialmente, un conxunto perfectamente harmonioso, ¡un conxunto practicamente acabado!». Nese momento, Poincaré impartía un curso na Sorbonne no que establecía as bases para a posterior formulación en 1904 do principio de relatividade.
[17] Euclides formula o seu postulado da seguinte maneira: «E se unha recta ao incidir sobre dous rectas fai os ángulos internos do mesmo lado menores que dous ángulos rectos, daquela as dúas rectas prolongadas indefinidamente encontráranse nese mesmo lado». Aínda que o enunciado de Proclo –atribuído na literatura anglosaxona a John Playfair– é moi similar á proposición 31 do Libro I, trátase de dúas afirmacións diferentes. Se facemos unha interpretación literal do seu enunciado, ese resultado é propio da xeometría absoluta, é dicir, independente do V postulado. Non obstante, se facemos como Euclides e supoñemos que o punto é exterior á recta, entón o resultado non é certo no caso esférico.
[18] Trátase en realidade de propiedades equivalentes ao V postulado. Así, nun plano euclidiano, a suma dos ángulos dun triángulo é igual a dous rectos. Nunha esfera, a suma dos ángulos é maior que dous rectos. Unha suma menor que dous rectos corresponde ao caso da xeometría hiperbólica. En ambas xeometrías, elíptica –ou esférica– e hiperbólica, as áreas dos triángulos son proporcionais ao exceso ou defecto angular. Polo contrario, no caso da xeometría parabólica ou euclidiana, hai triángulos semellantes de área arbitraria. Outra propiedade equivalente ao postulado euclidiano é o teorema pitagórico que relaciona as lonxitudes da hipotenusa e dos dous catetos dun triángulo.
[19] Gran parte do estudio das xeometrías non euclidianas débese a autores como Girolamo Saccheri (1667-1733), Johann Heinrich Lambert (1728-1777), Adrien-Marie Legendre (1752-1833) ou Johann Karl Friedrich Gauss (1775-1856), anteriores aos seus inventores Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) e János Bolyai (1802-1860).
[20] Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali di Matematica pura ed applicata, II (1868), 232-255. Hai unha tradución inglesa comentada no libro Sources of Hyperbolic Geometry de John Stillwell, publicado pola American Mathematical Society en 1996.
[21] Appendix III, Foundations of geometry (Second edition, Translated from the tenth German edition by Leo Unger, Open Court, LaSalle, 1971).
[22] Dous libros, ambos recomendados por Santaló, supoñen unha excepción. O primeiro é Elementäre Einführung in die Lobarschewskische Geometrie (VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1958) de A. P. Norden, tradución do orixinal ruso de 1953. En 1963, Rafael Dieste envioulle un exemplar do Nuevo tratado ao seu autor por medio de Rafael Alberti. O segundo é Fundamentos de Geometría (Ed. Limusa-Wiley S.A., México D.F., 1971) de H. S. M. Coxeter, tradución da edición orixinal Introduction to Geometry (John Wiley & Sons, New York 1961).
[23] No Testamento geométrico, Rafael Dieste refírese á tradución inglesa Geometry and the imagination (Chelsea Publishing Company, New York, 1952).
[24] Luis A. Santaló (Girona 1911, Buenos Aires 2002) é un dos mellores matemáticos españois de todos os tempos, aínda que adoptou a nacionalidade arxentina en 1947. En 1983 recibiu o Premio Principe de Asturias de Investigación Científica.
[25] Véxase a carta 382, dirixida a Gabriel Zaid e datada o 12 de xuño de 1963 en Rianxo, nas Obras completas: Epistolario. Edición de Xosé Luís Axeitos, Ediciós do Castro, Sada, 1995.
[26] Véxanse os escritos sobre a obra diestiana citados con anterioridade.
[27] Véxase a charla na Sociedade de Cultura Valle Inclán de Ferrol citada ao comezo ou as respostas agrupadas baixo o título «O matemático ao seu pesar» no libro Entrevistas con R. Dieste (Nigra, Vigo, 1994) compilado por Marga Romero.
