A vista do Paxaro

Abunda, por non dicir sobra, literatura sobre a cuarta dimensión. Marcel Schwob relata a obsesión dequen antes que outros soñou con representar o cambio no tempo, quen «creu que podería mudar todas as liñas nun só aspecto ideal», «concibir o universo creado igual que se reflectía no ollo de Deus, que ve xurdir todas as figuras dun centro complexo,». Porque o Paxaro «non permanecía nun só lugar: quería planear, no seu voo, sobre todos os lugares». Di Schwob que «tiña o costume de debuxar mazocchi, [...] uns puntiagudos, outros cadrados, outros con facetas [...] segundo todas as aparencias da perspectiva, ata o punto de encontrar un mundo de combinacións nas dobras do mazocchio». Un mundo que se repite nos paneis e pergameos mediceos ou nos muros do «Chiostro Verde» de Santa Maria Novella. Outros seguiranlle despois, pero nin sequera o gran Piero [1] alcanzará a sofisticación de Paolo dei Dono.

Estudo de mazzocchio en perspectiva (Gabinetto dei Disegni, Galleria degli Uffizi

Fresco de Il Diluvio Universale no convento de Santa Maria Novella

Detalle do fresco Il Diluvio Universale

Imaxinemos ao Paxaro planear sobre o noso mazzocchio –toro sólido adoitamos chamalo os matemáticos, redondeado para os xeómetras, con facetas para os topólogos– virtual: ninguén comprendería o seu cadro, no que só se vería «unha confusión de curvas», aínda que só captase una reducida mostra das infinitas perspectivas.

Din que imos a ombros de xigantes, pero en realidade vemos con ollos antigos. Grazas aos ordenadores, hoxe podemos materializar sen dificultade esas imaxes antigas, pero é prodixioso que teñamos as visións de Paolo Ucello, Piero della Francesca, Albrecht Dürer ou Johannes Kepler ao alcance dun simple clic. Deixemos ao Paxaro como o viu Schwob, gardando por sempre «na súa man convulsivamente pechada [...] un pequeno círculo de pergameo cuberto de liñas entrelazadas» que van «do centro á circunferencia» e volven «da circunferencia ao centro» [2].  

Video A vista do Paxaro

[1] Piero della Francesca (1415-1492) inclúe un estudo de mazzocchio en perspectiva no seu tratado De prospectiva pingendi dispoñible na Biblioteca Digitale Reggiana.

O mesmo estudo é retomado por Daniele Barbaro (1514-1570) no libro La pratica della perspettiva (in Venetia, appresso Camillo & Rutilio Borgominieri fratelli, al Segno di S. Giorgio, 1569) dispoñible en Mathematica Italiana.

[2] Os textos orixinais de Marcel Schwob proveñen da versión dixital daprimeira edición de Vies Imaginaires, Paris, Bibliothèque Charpentier, G. Charpentier et E. Fasquelle, Éditeurs, 11 Rue de la Grenelle, 1896.

Et il avait coutume de dessiner des mazocchi [sic], qui sont des cercles de bois recouvert de drap que l'on place sur la tête, de façon que les plis de l'étoffe rejetée entourent tout le visage. Uccello en figura de pointus, d'autres carrés, d'autres à facettes, disposés en pyramides et en cônes, suivant toutes les apparences de la perspective, si bien qu'il trouvait un monde de combinaisons dans les replis du mazocchio [sic]. Et le sculpteur Donatello lui disait : « Ah ! Paolo, tu laisses la substance pour l'ombre ! » [...] Il crut qu'il pourrait muer toutesm les lignes en un seul aspect idéal. Il voulut concevoir l'univers créé ainsi qu'il se reflétait dans l'oeil de Dieu, qui voit jaillir toutes les figures hors d'un centre complexe. [...] Car l'Oiseau ne connaissait pas la joie de se limiter à l'individu ; il ne demeurait point en un seul endroit : il voulait planer, dans son vol, au-dessus de tous les endroits. Et les formes des attitudes de Selvaggia furent jetées au creuset des formes, avec tous les mouvements des bêtes, et les lignes des plantes et des pierres, et les rais de la lumière, et les ondulations des vapeurs terrestres et des vagues de la mer. [...] L'Oiseau devint vieux, et personne ne comprenait plus ses tableaux. On n'y voyait qu'une confusion de courbes. On ne reconnaissait plus ni la terre, ni les plantes, ni les animaux, ni les hommes. Depuis de longues années, il travaillait à son oeuvre suprême, qu'il cachait à tous les yeux. [...] Et quelques années plus tard, on trouva Paolo Uccello mort d'épuisement sur son grabat. Son visage était rayonnant de rides. Ses yeux étaient fixés sur le mystère révèle. Il tenait dans sa main strictement refermée un petit rond de parchemin couvert d'entrelacements qui allaient du centre à la circonférence et qui retournaient de la circonférence au centre. E tiña o costume de debuxar mazocchi [sic], que son círculos de madeira recubertos de pano que se poñen na cabeza, de xeito que as dobras do tecido sobrante rodeen toda a cara. Uccello imaxinou uns puntiagudos, outros cadrados, outros con facetas, dispostos en pirámides e conos, segundo todas as aparencias da perspectiva, ata o punto de encontrar un mundo de combinacións nas dobras do mazocchio [sic]. E o escultor Donatello dicíalle: «Ai, Paolo, descoidas a substancia pola sombra!» [...] Creu que podería mudar todas as liñas nun só aspecto ideal. Quixo concibir o universo creado igual que se reflectía no ollo de Deus, que ve xurdir todas as figuras dun centro complexo. [...] Porque o Paxaro non coñecía a alegría de limitarse ao individuo; non permanecía nun só lugar: quería planear, no seu voo, sobre todos os lugares. E as formas das actitudes de Selvaggia foron botadas no crisol das formas, xunto a todos os movementos de animais, e as liñas dos planetas e as pedras, e os raios de luz, e as ondulacións dos vapores terrestres e as ondas do mar. [...] O Paxaro fíxose vello, e ninguén comprendía xa os seus cadros. Neles só se vía unha confusión de curvas. Non se recoñecía xa nin a terra, nin as plantas, nin os animais, nin os homes. Traballaba desde había longos anos na súa obra suprema, que ocultaba á vista de todos. [...] E uns anos máis tarde, encontraron a Paolo Uccello morto de esgotamento no seu catre. A súa cara relucía de engurras. Os seus ollos estaban cravados no misterio revelado. Na súa man convulsivamente pechada tiña un pequeno círculo de pergameo cuberto de liñas entrelazadas que ían do centro á circunferencia e volvían da circunferencia ao centro.

O fillo do agrimensor

Despois levantei a vista e vinme ante un home cun cordel de medir na man. E díxenlle: Onde vas?

Zacarías 2: 1-2 

Pouco antes dunha guerra civil, con apenas oito anos, un neno triangula xunto ao seu pai un lugar perdido de Andalucía. Única herdanza da vella fe, ninguén máis sabe medir as terras nesta chaira queimada polo sol.

Pronto a nai e os irmáns terán que escapar á serra, mentres o pai queda na fronte, nas mesmas terras que antes medía. Tras a derrota, preso o pai, o fillo substituirao. Abandonará a escola e traballará como peón para os vencedores, pero non esquecerá nin a música, nin a arte de medir.

Anos despois, cando o seu fillo maior marche á universidade, aquel rapaz non quererá aceptar a súa decisión. O seu soño é doado de entender: primeiro da súa casa en ter estudos superiores, gustaríalle que fose enxeñeiro agrónomo. Pero anos máis tarde faralle ao fillo unha confesión inesperada: canto lle tivese gustado estudar matemáticas!

Oxalá, a pesar da devastación da súa memoria, o fillo do agrimensor aínda lembre como triangular os inmensos campos.

Antes de escribir esta entrega, quixen documentarme sobre as técnicas tradicionais de agrimensura. Había un instrumento que me resultaba familiar, sen saber moi ben por que. Ata que logrei recordar e me vin con nove ou dez anos axudando ao meu pai, quen cunha groma aliñaba camiños e cultivos nun terreo.

A imaxe provén da tradución latina Sphaera mundi (1546) a cargo de Sebastian Münster e Erasmus O. Schreckenfuchs do libro  צורת הארץ | Surat ha-Eres (A forma da Terra) de Abraham bar Hiyya (Barcelona, c. 1065-70 - Narbona, c. 1136-45), coñecido como ha-Nasi (O Principe), ha-Bargeloni (pola súa orixe) ou Abraham Iudaeus Savasorda (deformación latina de Sahib al-Shurta, o xefe de policía). No seu libro המשיחה והתשבורת חבור | Hibbur ha-Meshihah ve-ha-Tishboret (Tratado sobre medidas e cálculos), bar Hiyya ocúpase dos fundamentos xeométricos e alxébricos da determinación de superficies na práctica da agrimensura. A esta obra débese a difusión da solución das ecuacións de segundo grao na Europa medieval, grazas á tradución latina co título de Liber Embadorum (1145) de Platón de Tivoli.

Outra xeometría

Voltemos a Bonaval e á súa escaleira de caracol. Desde o alto, veremos que a cidade está poboada por un universo de esferas. Pero, de súpeto, se miramos máis aló do xardín, sorprenderanos a inusual xeometría do remate da fachada de Santa Clara. Co seu aspecto de retablo pétreo, esta obra de Simón Rodríguez é un dos edificios máis singulares do barroco español [1]. De feito, é unha falsa fachada, que non dá a acceso á igrexa de Santa Clara, senón á portería do convento e a un pequeno xardín tras o que se esconde a verdadeira fachada, moito máis sinxela. É coma se o carácter mesmo de fachada pano outorgaralle un profundo sentido teatral, un trazo que provén en realidade dun audaz e orixinal exercicio formal no que os elementos decorativos van gañando complexidade e forza plástica a medida que se elevan ata culminar nun curioso frontón dobre rematado por tres insólitos cilindros, que lle dan a este singular decorado un insólito aire de modernidade [2].

Como recordabamos na anterior entrada, a xeometría da superficie deste particular remate é euclidiana, aínda que o camiño máis curto entre dous puntos non sexa realizado por unha recta, senón por un arco de hélice, tamén chamado loxodrómico, xa que forma un ángulo constante con calquera circunferencia directriz e calquera recta xeratriz. Pero basta desenrolar a superficie do cilindro ao xeito dun mapa para converter a hélice nunha verdadeira recta e convencérmonos de que, por un punto exterior a unha curva loxodrómica, só pasa outra curva loxodrómica paralela.

Pola contra, se pensamos na esfera, habemos de percorrer un arco de circunferencia máxima para unir dous puntos seguindo o camiño máis curto. Pero, por un punto exterior a unha destas liñas xeodésicas –e agora o nome está claramente xustificado–, non pasa ningunha paralela, pois dúas circunferencias de radio máximo sempre se cortan. Ou como ben sabían os gregos, moito antes do nacemento da xeometría riemanniana, a suma dos ángulos dun triángulo esférico é sempre maior que dous rectos, mentres que a suma dos ángulos dun triángulo cilíndrico é igual a dous rectos.

Pese ás diferenzas entre unha esfera e un cilindro, cando escribimos ás súas ecuacións en coordenadas cartesianas,

x² + y²  + z² = 1   e   x² + y² = 1,

observamos que as dúas superficies están definidas por un polinomio de grao 2. Dicimos que esferas e cilindros son cuádricas ou superficies de segunda orde. En 1887, un Henri Poincaré aínda novo mostraba [3] que, máis aló da terceira xeometría de Lobatchevski, hai unha cuarta xeometría [4], moito máis insólita que os nosos singulares remates rodeados de esferas.

Hai varias xeometrías cuadráticas, xa que hai varios tipos de superficies de segunda orde.  Se a superficie fundamental é un elipsoide, a xeometría cuadrática non difire da xeometría de Riemann.  Se a superficie fundamental é un hiperboloide de dúas follas, a xeometría cuadrática non difire da de Lobatchevski.  Se esta superficie é un paraboloide elíptico, a xeometría cuadrática redúcese á de Euclides; é un caso límite dos dous casos anteriores.  Está claro que non esgotamos a lista das xeometrías cuadráticas, pois non consideramos nin o hiperboloide dunha folla, nin as súas numerosas dexeneracións.  Podemos dicir polo tanto que hai tres xeometrías cuadráticas principais, que corresponden aos tres tipos de superficies de segunda orde con centro [5].  Deberemos engadir ademais as xeometrías que corresponden aos casos límite entre as que se sitúa a xeometría de Euclides.  ¿Como é posible que a xeometría do hiperboloide dunha folla fose ignorada ata agora polos teóricos? É porque implica as seguintes proposicións:  1º A distancia entre dous puntos situados nunha mesma xeratriz rectilínea da superficie fundamental é nula.  2º Hai dous tipos de rectas que corresponden, unhas ás seccións diametrais elípticas e outras ás seccións diametrais hiperbólicas; é imposible facer coincidir unha recta do primeiro tipo cunha recta do segundo mediante un movemento real. 3º É imposible facer coincidir unha recta consigo mesma por medio dunha rotación real ao redor dun dos seus puntos, tal e como ocorre na xeometría de Euclides cando se fai virar unha recta 180º ao redor dun dos seus puntos. Todos os xeómetras supuxeron implicitamente que estas tres proposicións son falsas, e en verdade estas tres proposicións son demasiado contrarias aos usos do noso espírito para que negándoas os fundadores da xeometría cresen defender unha hipótese e soñasen enunciala. [...]  ¿Que debemos pensar das premisas da Xeometría? ¿En que sentido pode dicirse, por exemplo, que o postulatum de Euclides é verdadeiro? Segundo acabamos de ver, a Xeometría non é outra cousa que o estudo dun grupo e, nese sentido, podería dicirse que a verdade da xeometría de Euclides non é incompatible coa da xeometría de Lobatchevski, xa que a existencia dun grupo non é incompatible coa doutro grupo. Entre todos os grupos posibles, eliximos un grupo particular para referirmos aos fenómenos físicos, como eliximos tres eixes de coordenadas para situar unha figura xeométrica.  Agora, ¿que é o que determina esta elección? Primeiro a simplicidade do grupo elixido. Pero hai outra razón: existen na natureza corpos notables, que se chaman sólidos, e a experiencia ensínanos que os diversos movementos posibles destes corpos están ligados pouco máis ou menos polas mesmas relacións que as diversas operacións do grupo elidido.  Daquela as hipóteses fundamentais da Xeometría non son feitos experimentais, pero, con todo, foron elixidas de entre todas as hipóteses posibles pola observación de certos fenómenos físicos.  Por outra banda, o grupo elixido tan só é máis cómodo que os outros e non se pode dicir que a xeometría euclidiana sexa verdadeira e a xeometría de Lobatchevski falsa, como non se podería dicir que as coordenadas cartesianas sexan verdadeiras e as coordenadas polares falsas.  Non insisto máis, pois o fin deste traballo non é o desenvolvemento destas verdades que empezan a ser banais.

Acababa de nacer a xeometría de Lorentz [6]. Observemos que os dous hiperboloides, dunha e dúas follas, herdan as súas respectivas xeometrías do espazo tridimensional dotado da forma cuadrática

q(u) = q(u₁,u₂,u₃) = u₁² + u₂² – u₃².

No caso do hiperboloide de dúas follas determinado pola ecuación 

x²+y²-z²+1 = 0, 

onde supoñemos a=b=c=1 por comodidade, a forma cuadrática é definida positiva en restrición ao plano tanxente á superficie en calquera punto, xa que q(u)>0 para calquera vector tanxente u ≠ 0. Para unir dous puntos dunha mesma folla seguindo o camiño máis curto, bástanos percorrer a curva que se obtén ao intersecar o plano que contén a eses dous puntos e á orixe. Pola contra, en cada punto do hiperboloide dunha folla determinado pola ecuación 

x²+y²-z²-1= 0, 

hai dúas direccións tanxentes u e u´ que verifican q(u) = q(u´) = 0. De feito, se temos en conta que a ecuación se escribe

(x+z)(x-z) = (1+y)(1-y), 

convencerémonos de que por ese punto pasan dúas rectas reais perpendiculares a si mesmas. Todos os puntos de cada unha desas rectas directrices están a distancia nula uns doutros.

Tras a súa morte, Simón Rodríguez converterase nun dos «fatuos delirantes» desprezados pola rancia Academia e os seus herdeiros. Hai unha corrente matemática e histórica interesada desde fai máis dun século en empequenecer a figura de Poincaré, pero hoxe calquera matemático ou historiador da ciencia ten acceso a obras orixinais e pode recoñecer por si mesmo o alcance do seu pensamento.

[1] Tras as reformas realizadas ao longo dos séculos XVI e XVII no antigo convento das monxas clarisas construído en 1260 grazas á dote de Violante de Aragón, esposa de Alfonso X, o aspecto actual do convento de Santa Clara débese á reforma emprendida por Domingo de Andrade a finais do século XVII e rematada por Simón Rodríguez entre 1721 e 1726.

Simón Rodríguez (Santiago de Compostela, 1679-1751) é un dos máis importantes arquitectos do barroco español e o máximo representante do estilo de placas. Discípulo probable de Domingo de Andrade, con quen colaborou nos seus inicios como entallador na construción do baldaquino da catedral compostelá, desenvolveu na súa obra posterior o seu interese pola xeometrización da estrutura arquitectónica, o que lle outorga unha indubidable modernidade. Grazas a un particular tratamento da pedra, máis propio dun entallador ou dun escultor que dun arquitecto, e a un singular xogo cos volumes xeométricos, ambos os dous característicos do estilo de placas, as súas obras posúen un aspecto case teatral. Ocorre así coa súa obra mestra, a fachada do convento de Santa Clara, pero tamén co retablo da Igrexa da Compañía construído pouco despois en 1727. Esas mesmas características están presentes na capela do Santo Cristo de Conxo ou na fachada do Colexio de Exercitantes. Aínda que segue o proxecto orixinal de Simón Rodríguez no interior e no primeiro corpo da fachada, a igrexa de San Francisco quedou inacabada pola morte do arquitecto e a súa fachada foi modificada de xeito substancial por imposición da Academia de Belas Artes de San Fernando que viña de nacer.

[2] Estes dous epítetos repítense na obra de estudiosos como Werner Weisbach e Antonio Bonet Correa, citados por María del Carmen Folgar, ou María Dolores Vila Jato para referirse á obra de Simón Rodríguez. Destaca a visión do historiador alemán Werner Weisbach no seu traballo Spanish Baroque Art: Three Lectures Delivered at the University of London [in January 1939] publicado pola editorial Cambridge University Press en 1941:

O volume aumenta na parte superior por medio dunha especie de composición cubista que sobresae sobre un frontón triangular: cilindros de pedra e bloques rectangulares de carácter abstruso, únicos no seu xénero.

Véxanse tamén os libros de Antonio Bonet Correa (La arquitectura en Galicia durante el siglo XVII,  Publicaciones del Instituto Padre Sarmiento, CSIC, 1984) e María del Carmen Folgar de la Calle (Simón Rodríguez, Fundación Pedro Barrié de la Maza,1989) e o artigo Simón Rodríguez, el estilo de placas publicado por María Dolores Vila Jato en Artehistoria.

[3] Henri Poincaré, Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, Bulletin de la Société Mathématique de France, 15 (1887), 203-216.

[4] Tomo prestada esta denominación do propio Poincaré:

A cuarta xeometría.—  Entre estes axiomas implícitos, hai un que creo merece algo de atención, porque abandonándoo pódese construír unha cuarta xeometría tan coherente como as de Euclides, Lobatchevsky e Riemann. […] Non citarei máis que un destes teoremas e non elixirei o máis singular: unha recta real pode ser perpendicular a si mesma. […] Noutros termos, os axiomas da xeometría (non falo dos da aritmética) non son máis que definicións disfrazadas. Pero entón, ¿que debemos pensar desta cuestión? ¿A xeometría euclidiana é verdadeira? Isto non ten ningún sentido. É o mesmo que preguntar se o sistema métrico é verdadeiro e as antigas medidas falsas, se as coordenadas cartesianas son verdadeiras e as coordenadas polares falsas. Unha xeometría non pode ser máis verdadeira que outra, só pode ser máis cómoda. Henri Poincaré,  Ciencia e hipótese, Flammarion, Paris, 1902

Máis teatral diría Simón Rodriguez.

[5] Elipsoides, hiperboloides e paraboloides, estes últimos con centro no infinito.

[6] É o propio Henri Poincaré quen chamará grupo de Lorentz ao grupo formado polas «transformacións de relatividade» en homenaxe ao seu amigo Hendrik A. Lorentz ao demostraren en 1905 que estas deixan invariantes as ecuacións do electromagnetismo, e Hendrik A. Lorentz quen contará a historia de primeira man en Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la Physique Mathématique, Acta Mathematica, 38 (1921), 293-308.

Un universo de esferas

Universo de esferas from Matemáticas en imágenes on Vimeo.

Bonaval

A escaleira construída por Domingos de Andrade en Bonaval a finais do século XVII é unha tripla escaleira helicoidal, voada, de espírito palladiano. Nesa mesma época, emulando a Arquímedes, Jacob Bernoulli pide que debuxen unha espiral na súa tumba a modo de epitafio.

Eadem numero mutata resurget 

Cada cidade ten un lugar máxico. Aquí, ao final do camiño, ese lugar máxico chámase Bonaval. A antiga igrexa, o vello mosteiro de Santo Domingos de Bonaval [1], xunto á Porta do Camiño, o xardín de Álvaro Siza que o rodea, todo está cheo de maxia. Nunha esquina do claustro, escondida á vista, ocúltase unha pequena xoia: a antiga escaleira abacial construída por Domingos de Andrade (1639-1712) a finais do século XVII [2]. É una tripla escaleira helicoidal, voada, de espírito palladiano [3]. Cada chanzo áchase encaixado no muro sen outra suxeición que un mínimo apoio no chanzo inferior polo medio dunha zanca que describe unha hélice circular arredor dun oco de amplas dimensións. A levidade da construción parece querer ilustrar as propiedades da forma matemática que adopta cada caracol: un helicoide recto. 

 

Recordemos que un helicoide recto admite a seguinte parametrización cartesiana: 

x = u cos v 

y = u sen v 
z = b v 
de maneira que a curva que se obtén ao fixar cada valor de u é unha hélice circular contida no cilindro de radio u con paso igual a 2πb [4]. Cada hélice forma un ángulo constante, igual a arctan(b/u), con calquera plano horizontal, caracterizándoa entre todas as curvas contidas no cilindro [5]. 

Nunha escaleira helicoidal, se chamamos n ao número de chanzos de cada volta completa, ω á amplitude de cada chanzo (é dicir, ao ángulo que forma, medido en radiáns) e h á súa altura, entón o paso completo da escaleira ven dado por 

2πb = nh = nωb. 

Chámase paso reducido ao cociente b = h/ω. Na escaleira de Andrade, con n=44 e h=20 cm, o ángulo ω=2π/44 ~ 8,18º e o paso reducido b = 140. A pendente da hélice que debuxa cada tramo ao longo do muro exterior é igual ao cociente entre o paso b=140 e o radio da escaleira R=280cm, similar ao cociente da altura h=20cm polo ancho máximo de cada chanzo, igual a 40cm. Isto significa que forma un ángulo de algo menos de 27º con cada plano horizontal. Pola súa banda, a pendente da zanca (na súa parte interior que limita o oco central) é igual ao cociente entre o paso b=140 e o radio do oco r=113cm, o que da un ángulo aproximado de algo máis de 51º. Se desenrolamos o cilindro de radio r ≤ u ≤ R, veremos con claridade que a pendente da escaleira a esa distancia u do eixo central é igual a b/u e o seu equivalente trigonométrico a arctan(b/u). 

Figura 1

O noso helicoide está formado –foliado dicimos na terminoloxía matemática– por hélices circulares de maneira que os ángulos que forman con calquera plano horizontal son constantes e varían entre eses dous valores aproximados de 27º e 51º. Na súa parte inicial, cada tramo da escaleira é unha copia do anterior, obtido por simple rotación de ángulo 120º, distribuíndose a súa altura de paso de maneira uniforme. Na parte final, Andrade xoga coa perspectiva e o contraste de materiais facendo que cada tramo se deteña a una altura diferente. 

Pero, ¿que é o que realmente vemos na imaxe? Supoñamos que fora tomada cunha cámara escura (en lugar da cámara compacta coa que foi tomada en realidade), o que nos aforrará termos que nos preocupar polas leis da óptica xeométrica e as posibles aberracións. Desde un punto de vista matemático, a imaxe proporcionada por esta cámara escura ideal estaría dada pola proxección estereográfica desde o punto (0,0,ε) do semiespazo E formado polos puntos de coordenadas (x,y,z) con z > ε sobre o plano horizontal de ecuación z=0 para algún ε > 0 [6]. Un simple applet permite visualizar esta idea: movendo os puntos P e Q pódese apreciar como varían as súas imaxes p e q. 

A proxección π danos un mapa completo de cada semicilindro de radio u que ocupa todo o plano z=0 privado da orixe [7]. A imaxe da circunferencia de radio u situada a unha altura z é a circunferencia de radio εu/(z-ε). Observemos que o radio εu/(z-ε) tende a 0 cando a altura z tende a infinito, mentres que εu/(z-ε) tende a infinito cando a altura z tende a ε. Pola súa banda, as semirrectas verticais convértense en semirrectas radiais que converxen á orixe. Pero, ¿cal é a imaxe que nos devolve a cámara escura de cada unha das hélices que forman o noso helicoide (determinada por un ángulo arctan(b/u) con r ≤ u ≤ R)? 

Se nos fixamos na imaxe inicial, podemos apreciar que a imaxe de cada zanca (que viría determinada pola ecuación u = r) aseméllase a unha curva ben coñecida [8]. O seu nome espiral logarítmica segundo Varignon, estudada por Descartes e Torricelli a mediados do século XVII. É a spira mirabilis que fascinará a Jacob Bernoulli pouco antes da construción da nosa escaleira [9]. 

Unha espiral logarítmica pode describirse mediante a ecuación ρ = ue^δθ en coordenadas polares ou as ecuacións 
x = u e^δθ cos θ
y = u e^δθ sen θ
usando coordenadas cartesianas [10]. 

Figura 2

Igual ca hélice, a espiral logarítmica forma un ángulo constante α con calquera semirrecta radial. A condición tan α = 1/δ dinos que: 

α = arctan (1/δ) = arccot δ. 

Chámase grao da espiral ao ángulo β = π/2 - α = arctan (δ) que forma con calquera circunferencia centrada na orixe. Se xiramos unha espiral logarítmica un ángulo θ', o resultado coincide co que se obtén ao dilatar ou contraer a espiral multiplicando por un factor e^-δθ'. En matemáticas, esta transformación chámase homotecia. Daquela, se tomamos θ' igual a un múltiplo enteiro de 2π, a espiral permanece invariante ao aplicarlle a homotecia de razón e^-δθ'. Eadem numero mutata resurget dirá Bernoulli para describir esta propiedade característica da espiral logarítmica. 

Cum autem ob propietatem tam singularem tamque admirabilem mire mihi placeat Spira haec mirabilis, sic ut ejus contemplatione satiari vix queam; cogitavi, illam ad varias res symbolice repraesentandas non inconcinne adhiberi posse. Quoniam enim semper sibi similem et eandem Spiram gignit, utcunque volvatur, evolvatur, radiet; hinc poterit esse vel sobolis parentibus per omnia similis Emblema; Simillima Filia Matri. Vel, [si rem aeternae Veritatis Fidei mysteriis accommodare non est prohibitum] ipsius aeternae generationis Filii, qui Patris veluti imago, et ab illo ut Lumen a Lumine emanans, eidem existit, qualiscunque adumbratio. Aut, si mavis, quia Curva nostra mirabilis in ipsa mutatione sempre sibi constantissime manet similis et numero eadem, poterir esse, vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus; vel etiam Carnis nostrae post varias alterationes, et tandem ipsam quoque mortem, ejusdem numero resurrecturae symbolum; adeo quidem, ut si Archimedem imitandi hodienum consuetudo obtineret, libenter Spiram hanc tumulo meo juberem incidi cum Epigraphe: Eadem numero mutata resurget. Do mesmo modo que esta espiral marabillosa me produce un pracer sublime debido á súa propiedade tan singular e tan admirable, apenas son capaz de quedar satisfeito coa súa contemplación. Pensei que esta podería empregarse para representar simbolicamente varias cousas de maneira nada inexacta. En efecto, xa que sempre xera unha espiral semellante a si mesma e sempre a mesma independentemente de que se enrole, se desenrole ou xire, podería ser por iso o emblema dos fillos en todo semellantes aos seus pais: a filla igualísima á nai. Ou ben, se non está prohibido aplicar o argumento aos misterios da fe da verdade eterna, podería ser a imaxe da propia xeración eterna do Fillo que, como imaxe do Pai, e que emana del como a luz da luz, permanece consubstancial con el, sexa cal sexa a súa aparencia. Ou, se se prefire, xa que a nosa curva admirable mantense no medio do propio cambio sempre exactamente igual a si mesma e nas súas mesmas proporcións, podería mesmo ser a imaxe da fortaleza e firmeza na adversidade. Tamén podería selo da nosa carne tras as súas distintas alteracións e, finalmente, tras a propia morte, como símbolo de que ha resucitar cos seus mesmos caracteres, ata o punto de que, se nos nosos días se mantivese o costume de imitar a Arquímedes, de boa gana mandaría que se gravase na miña tumba esta espiral con esta inscrición: resucitará sendo a mesma, aínda que cambie o seu aspecto.

As imaxes da escaleira de Andrade dinnos que o camiño máis curto entre dous puntos dun cilindro dista de ser recto. Se os dous puntos están sobre unha mesma vertical, esta realiza a distancia entre ambos os dous. Pero noutro caso deberíamos seguir un arco loxodrómico, reducido a un arco de circunferencia cando os dous puntos sitúanse á mesma altura. A xeometría do cilindro é euclidiana –pensemos que por un punto exterior a una destas liñas xeodésicas só pasa unha paralela–, aínda que algunhas rectas cilíndricas cúrvanse. Pero deixeimos esta historia para outra ocasión. construció

Grazas ao Museo do Pobo Galego pola súa amabilidade ao autorizarme a fotografar e tomar medidas das dimensións da escaleira de Domingos de Andrade. O meu máis sincero agradecemento a José Antonio Puentes pola súa fermosa tradución do fragmento de Bernoulli, enteiramente fiel á letra e ao espírito do texto orixinal.  

[1] Actual sede do Museo do Pobo Galego. 

[2] Domingos de Andrade (Cee, 1639 - Santiago de Compostela, 1712) é un persoeiro clave na transición do clasicismo ao barroco durante a segunda metade do século XVII en Galicia. Autor polifacético, conta cunha ampla obra que abrangue desde os seus inicios como entallador e autor de diversos retablos ata os seus traballos posteriores como arquitecto, que van do relixioso ao civil e militar. Foi nomeado mestre de obras da catedral compostelá en 1676, momento no que iniciou a construción da Torre do Reloxo, de inspiración italiana, completada posteriormente en 1700 co Pórtico Real da Quintana. En 1695, por encargo do arcebispo Monroy, Andrade reconstrúe a fachada da portería, as celas e o claustro do antigo convento de Santo Domingos, engadindo nun exercicio de virtuosismo clasicista unha tripla escaleira de caracol nunha esquina do claustro. Ese mesmo ano, publica Excelencias de la arquitectura, un tratado erudito sobre a teoría da arquitectura. Nas súas obras de arquitectura civil como a Casa das Pomas e a Casa da Parra ou o proxecto inicial da Casa da Conga, apréciase tamén a clara influencia do clasicismo renacentista italiano sobre a obra do arquitecto galego. 

[3] No primeiro dos I Quattro Libri dell'Architettura, Andrea Palladio inclúe o debuxo dunha escaleira aberta de catro tramos, encargada por Francisco I de Francia para o castelo de Chambord e diferente da escaleira de dous tramos arredor dunha lanterna central que coñecemos hoxe. Ese mesmo espírito está presente na famosa escaleira oval construída por Palladio no Convento della Carità veneciano. 

[4] Pola súa banda, as curvas que se obteñen supoñendo que v é constante son segmentos de lonxitude igual á amplitude do intervalo de definición do parámetro u, comprendido entre un radio mínimo r e un radio máximo R. Chámase paso á diferencia de altura cando damos unha volta completa substituíndo v por v+2π, véxase a figura 1. 

[5] Dise entón que a hélice é unha curva loxodrómica do cilindro. 

[6] Un pequeno cálculo permite comprobar que esta proxección, á que chamaremos π, está definida da seguinte maneira:

 π(x,y,z) = (-εx/(z-ε), -εy/(z-ε))

calquera que sexa o punto (x,y,z) do semiespazo E. 

[7] A orixe do plano é a imaxe do punto do infinito, ou se se quere usar outra denominación, o punto de fuga da nosa particular perspectiva. 

[8] Se a proxección π conservase os ángulos, cada hélice circular proxectaríase nunha curva plana que formaría un ángulo constante con calquera circunferencia centrada na orixe. Saberiamos con certeza que se trata dunha espiral logarítmica. Pero os ángulos non son conservados e a curva proxectada non é propiamente unha espiral logarítmica. Poderiamos construír sen demasiada dificultade un mapa do cilindro que conservase os ángulos e nos permitise substituír cada hélice por unha espiral logarítmica. Así, por exemplo, poderiamos enviar cada punto (x,y,z) do semicilindro de radio u sobre o punto (e^-z/ux, e^-z/uy) do disco de radio u privado da orixe ou usar ideas habituais na proxección cartográfica. Non obstante, conformarémonos con seguir imaxinando que dispoñemos dunha cámara escura ideal que nos devolve como imaxe unha simple espiral. 
  
[9] Jacobi Bernoulli, Linea Cycloidales, Evoluta, Ant-Evoluta, Caustica, Peri-Caustica, Spira Mirabilis. Acta Eruditorum anno MDCXCII, I.207, Lipsiæ, prostant apud Joh. Grossii Haeredes & Joh. Frid. Gleditschium. 

[10] A cámara escura inverte o sentido de xiro das nosas hélices e espirais, aínda que se manteñen as denominacións habituais. Cada hélice determinada por un valor de u é destra, o que significa que avanza en sentido contrario ás agullas do reloxo. A súa imaxe é dextroxira, xa que a distancia á orixe aumenta no sentido das agullas do reloxo. Pero, nas imaxes tomadas cunha cámara compacta, as hélices destras dan lugar a espirais levoxiras.  

espirais dextroxiras

espirais levoxiras

Unha espiral logarítmica dextroxira está dada pola ecuación en coordenadas polares ρ= u e^-δθ ou polas ecuacións en coordenadas cartesianas
x = u e^-δθ cos θ
 y = - u e^-δθ sen θ. 

NOTA ADICIONAL: Como xa dixemos, a imaxe de calquera hélice circular –como a zanca da escaleira de Andrade– é unha espiral, pero non pode ser unha espiral logarítmica, xa que o seu grao varía. Danos igual obter a imaxe mediante unha cámara escura (usando a proxección π) ou mediante unha cámara compacta (usando un sistema de proxección cónica). A seguinte gráfica representa o valor do expoñente δ cando facemos variar a altura z entre 2ε = 8cm e 3000 cm. O tramo vermello corresponde ao intervalo comprendido entre unha altura mínima de 101,86 cm (que correspondería a un ángulo de visión de 60º) e máxima de 1640 cm, ás que corresponden expoñentes δ = 3,1388 e δ = 0,3666 respectivamente. Cando nos aproximamos ao punto de fuga, o expoñente tende a facerse constante, pero cada vez máis pequeno, de maneira que o aspecto da espiral aseméllase cada vez máis a unha espiral logarítmica, pero o seu grao tende a 0, polo que a espiral aseméllase en realidade a unha circunferencia, reducida a un punto no límite. 

Figura 3

Se nos mantemos na parte final do tramo vermello da figura 3, poderemos trazar porcións de espiral logarítmica que se axustan relativamente ben á imaxe da zanca, como ocorre coa espiral azul que contemplabamos antes.