Bonaval

A escaleira construída por Domingos de Andrade en Bonaval a finais do século XVII é unha tripla escaleira helicoidal, voada, de espírito palladiano. Nesa mesma época, emulando a Arquímedes, Jacob Bernoulli pide que debuxen unha espiral na súa tumba a modo de epitafio.

Eadem numero mutata resurget 

Cada cidade ten un lugar máxico. Aquí, ao final do camiño, ese lugar máxico chámase Bonaval. A antiga igrexa, o vello mosteiro de Santo Domingos de Bonaval [1], xunto á Porta do Camiño, o xardín de Álvaro Siza que o rodea, todo está cheo de maxia. Nunha esquina do claustro, escondida á vista, ocúltase unha pequena xoia: a antiga escaleira abacial construída por Domingos de Andrade (1639-1712) a finais do século XVII [2]. É una tripla escaleira helicoidal, voada, de espírito palladiano [3]. Cada chanzo áchase encaixado no muro sen outra suxeición que un mínimo apoio no chanzo inferior polo medio dunha zanca que describe unha hélice circular arredor dun oco de amplas dimensións. A levidade da construción parece querer ilustrar as propiedades da forma matemática que adopta cada caracol: un helicoide recto. 

 

Recordemos que un helicoide recto admite a seguinte parametrización cartesiana: 

x = u cos v 

y = u sen v 
z = b v 
de maneira que a curva que se obtén ao fixar cada valor de u é unha hélice circular contida no cilindro de radio u con paso igual a 2πb [4]. Cada hélice forma un ángulo constante, igual a arctan(b/u), con calquera plano horizontal, caracterizándoa entre todas as curvas contidas no cilindro [5]. 

Nunha escaleira helicoidal, se chamamos n ao número de chanzos de cada volta completa, ω á amplitude de cada chanzo (é dicir, ao ángulo que forma, medido en radiáns) e h á súa altura, entón o paso completo da escaleira ven dado por 

2πb = nh = nωb. 

Chámase paso reducido ao cociente b = h/ω. Na escaleira de Andrade, con n=44 e h=20 cm, o ángulo ω=2π/44 ~ 8,18º e o paso reducido b = 140. A pendente da hélice que debuxa cada tramo ao longo do muro exterior é igual ao cociente entre o paso b=140 e o radio da escaleira R=280cm, similar ao cociente da altura h=20cm polo ancho máximo de cada chanzo, igual a 40cm. Isto significa que forma un ángulo de algo menos de 27º con cada plano horizontal. Pola súa banda, a pendente da zanca (na súa parte interior que limita o oco central) é igual ao cociente entre o paso b=140 e o radio do oco r=113cm, o que da un ángulo aproximado de algo máis de 51º. Se desenrolamos o cilindro de radio r ≤ u ≤ R, veremos con claridade que a pendente da escaleira a esa distancia u do eixo central é igual a b/u e o seu equivalente trigonométrico a arctan(b/u). 

Figura 1

O noso helicoide está formado –foliado dicimos na terminoloxía matemática– por hélices circulares de maneira que os ángulos que forman con calquera plano horizontal son constantes e varían entre eses dous valores aproximados de 27º e 51º. Na súa parte inicial, cada tramo da escaleira é unha copia do anterior, obtido por simple rotación de ángulo 120º, distribuíndose a súa altura de paso de maneira uniforme. Na parte final, Andrade xoga coa perspectiva e o contraste de materiais facendo que cada tramo se deteña a una altura diferente. 

Pero, ¿que é o que realmente vemos na imaxe? Supoñamos que fora tomada cunha cámara escura (en lugar da cámara compacta coa que foi tomada en realidade), o que nos aforrará termos que nos preocupar polas leis da óptica xeométrica e as posibles aberracións. Desde un punto de vista matemático, a imaxe proporcionada por esta cámara escura ideal estaría dada pola proxección estereográfica desde o punto (0,0,ε) do semiespazo E formado polos puntos de coordenadas (x,y,z) con z > ε sobre o plano horizontal de ecuación z=0 para algún ε > 0 [6]. Un simple applet permite visualizar esta idea: movendo os puntos P e Q pódese apreciar como varían as súas imaxes p e q. 

A proxección π danos un mapa completo de cada semicilindro de radio u que ocupa todo o plano z=0 privado da orixe [7]. A imaxe da circunferencia de radio u situada a unha altura z é a circunferencia de radio εu/(z-ε). Observemos que o radio εu/(z-ε) tende a 0 cando a altura z tende a infinito, mentres que εu/(z-ε) tende a infinito cando a altura z tende a ε. Pola súa banda, as semirrectas verticais convértense en semirrectas radiais que converxen á orixe. Pero, ¿cal é a imaxe que nos devolve a cámara escura de cada unha das hélices que forman o noso helicoide (determinada por un ángulo arctan(b/u) con r ≤ u ≤ R)? 

Se nos fixamos na imaxe inicial, podemos apreciar que a imaxe de cada zanca (que viría determinada pola ecuación u = r) aseméllase a unha curva ben coñecida [8]. O seu nome espiral logarítmica segundo Varignon, estudada por Descartes e Torricelli a mediados do século XVII. É a spira mirabilis que fascinará a Jacob Bernoulli pouco antes da construción da nosa escaleira [9]. 

Unha espiral logarítmica pode describirse mediante a ecuación ρ = ue^δθ en coordenadas polares ou as ecuacións 
x = u e^δθ cos θ
y = u e^δθ sen θ
usando coordenadas cartesianas [10]. 

Figura 2

Igual ca hélice, a espiral logarítmica forma un ángulo constante α con calquera semirrecta radial. A condición tan α = 1/δ dinos que: 

α = arctan (1/δ) = arccot δ. 

Chámase grao da espiral ao ángulo β = π/2 - α = arctan (δ) que forma con calquera circunferencia centrada na orixe. Se xiramos unha espiral logarítmica un ángulo θ', o resultado coincide co que se obtén ao dilatar ou contraer a espiral multiplicando por un factor e^-δθ'. En matemáticas, esta transformación chámase homotecia. Daquela, se tomamos θ' igual a un múltiplo enteiro de 2π, a espiral permanece invariante ao aplicarlle a homotecia de razón e^-δθ'. Eadem numero mutata resurget dirá Bernoulli para describir esta propiedade característica da espiral logarítmica. 

Cum autem ob propietatem tam singularem tamque admirabilem mire mihi placeat Spira haec mirabilis, sic ut ejus contemplatione satiari vix queam; cogitavi, illam ad varias res symbolice repraesentandas non inconcinne adhiberi posse. Quoniam enim semper sibi similem et eandem Spiram gignit, utcunque volvatur, evolvatur, radiet; hinc poterit esse vel sobolis parentibus per omnia similis Emblema; Simillima Filia Matri. Vel, [si rem aeternae Veritatis Fidei mysteriis accommodare non est prohibitum] ipsius aeternae generationis Filii, qui Patris veluti imago, et ab illo ut Lumen a Lumine emanans, eidem existit, qualiscunque adumbratio. Aut, si mavis, quia Curva nostra mirabilis in ipsa mutatione sempre sibi constantissime manet similis et numero eadem, poterir esse, vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus; vel etiam Carnis nostrae post varias alterationes, et tandem ipsam quoque mortem, ejusdem numero resurrecturae symbolum; adeo quidem, ut si Archimedem imitandi hodienum consuetudo obtineret, libenter Spiram hanc tumulo meo juberem incidi cum Epigraphe: Eadem numero mutata resurget. Do mesmo modo que esta espiral marabillosa me produce un pracer sublime debido á súa propiedade tan singular e tan admirable, apenas son capaz de quedar satisfeito coa súa contemplación. Pensei que esta podería empregarse para representar simbolicamente varias cousas de maneira nada inexacta. En efecto, xa que sempre xera unha espiral semellante a si mesma e sempre a mesma independentemente de que se enrole, se desenrole ou xire, podería ser por iso o emblema dos fillos en todo semellantes aos seus pais: a filla igualísima á nai. Ou ben, se non está prohibido aplicar o argumento aos misterios da fe da verdade eterna, podería ser a imaxe da propia xeración eterna do Fillo que, como imaxe do Pai, e que emana del como a luz da luz, permanece consubstancial con el, sexa cal sexa a súa aparencia. Ou, se se prefire, xa que a nosa curva admirable mantense no medio do propio cambio sempre exactamente igual a si mesma e nas súas mesmas proporcións, podería mesmo ser a imaxe da fortaleza e firmeza na adversidade. Tamén podería selo da nosa carne tras as súas distintas alteracións e, finalmente, tras a propia morte, como símbolo de que ha resucitar cos seus mesmos caracteres, ata o punto de que, se nos nosos días se mantivese o costume de imitar a Arquímedes, de boa gana mandaría que se gravase na miña tumba esta espiral con esta inscrición: resucitará sendo a mesma, aínda que cambie o seu aspecto.

As imaxes da escaleira de Andrade dinnos que o camiño máis curto entre dous puntos dun cilindro dista de ser recto. Se os dous puntos están sobre unha mesma vertical, esta realiza a distancia entre ambos os dous. Pero noutro caso deberíamos seguir un arco loxodrómico, reducido a un arco de circunferencia cando os dous puntos sitúanse á mesma altura. A xeometría do cilindro é euclidiana –pensemos que por un punto exterior a una destas liñas xeodésicas só pasa unha paralela–, aínda que algunhas rectas cilíndricas cúrvanse. Pero deixeimos esta historia para outra ocasión. construció

Grazas ao Museo do Pobo Galego pola súa amabilidade ao autorizarme a fotografar e tomar medidas das dimensións da escaleira de Domingos de Andrade. O meu máis sincero agradecemento a José Antonio Puentes pola súa fermosa tradución do fragmento de Bernoulli, enteiramente fiel á letra e ao espírito do texto orixinal.  

[1] Actual sede do Museo do Pobo Galego. 

[2] Domingos de Andrade (Cee, 1639 - Santiago de Compostela, 1712) é un persoeiro clave na transición do clasicismo ao barroco durante a segunda metade do século XVII en Galicia. Autor polifacético, conta cunha ampla obra que abrangue desde os seus inicios como entallador e autor de diversos retablos ata os seus traballos posteriores como arquitecto, que van do relixioso ao civil e militar. Foi nomeado mestre de obras da catedral compostelá en 1676, momento no que iniciou a construción da Torre do Reloxo, de inspiración italiana, completada posteriormente en 1700 co Pórtico Real da Quintana. En 1695, por encargo do arcebispo Monroy, Andrade reconstrúe a fachada da portería, as celas e o claustro do antigo convento de Santo Domingos, engadindo nun exercicio de virtuosismo clasicista unha tripla escaleira de caracol nunha esquina do claustro. Ese mesmo ano, publica Excelencias de la arquitectura, un tratado erudito sobre a teoría da arquitectura. Nas súas obras de arquitectura civil como a Casa das Pomas e a Casa da Parra ou o proxecto inicial da Casa da Conga, apréciase tamén a clara influencia do clasicismo renacentista italiano sobre a obra do arquitecto galego. 

[3] No primeiro dos I Quattro Libri dell'Architettura, Andrea Palladio inclúe o debuxo dunha escaleira aberta de catro tramos, encargada por Francisco I de Francia para o castelo de Chambord e diferente da escaleira de dous tramos arredor dunha lanterna central que coñecemos hoxe. Ese mesmo espírito está presente na famosa escaleira oval construída por Palladio no Convento della Carità veneciano. 

[4] Pola súa banda, as curvas que se obteñen supoñendo que v é constante son segmentos de lonxitude igual á amplitude do intervalo de definición do parámetro u, comprendido entre un radio mínimo r e un radio máximo R. Chámase paso á diferencia de altura cando damos unha volta completa substituíndo v por v+2π, véxase a figura 1. 

[5] Dise entón que a hélice é unha curva loxodrómica do cilindro. 

[6] Un pequeno cálculo permite comprobar que esta proxección, á que chamaremos π, está definida da seguinte maneira:

 π(x,y,z) = (-εx/(z-ε), -εy/(z-ε))

calquera que sexa o punto (x,y,z) do semiespazo E. 

[7] A orixe do plano é a imaxe do punto do infinito, ou se se quere usar outra denominación, o punto de fuga da nosa particular perspectiva. 

[8] Se a proxección π conservase os ángulos, cada hélice circular proxectaríase nunha curva plana que formaría un ángulo constante con calquera circunferencia centrada na orixe. Saberiamos con certeza que se trata dunha espiral logarítmica. Pero os ángulos non son conservados e a curva proxectada non é propiamente unha espiral logarítmica. Poderiamos construír sen demasiada dificultade un mapa do cilindro que conservase os ángulos e nos permitise substituír cada hélice por unha espiral logarítmica. Así, por exemplo, poderiamos enviar cada punto (x,y,z) do semicilindro de radio u sobre o punto (e^-z/ux, e^-z/uy) do disco de radio u privado da orixe ou usar ideas habituais na proxección cartográfica. Non obstante, conformarémonos con seguir imaxinando que dispoñemos dunha cámara escura ideal que nos devolve como imaxe unha simple espiral. 
  
[9] Jacobi Bernoulli, Linea Cycloidales, Evoluta, Ant-Evoluta, Caustica, Peri-Caustica, Spira Mirabilis. Acta Eruditorum anno MDCXCII, I.207, Lipsiæ, prostant apud Joh. Grossii Haeredes & Joh. Frid. Gleditschium. 

[10] A cámara escura inverte o sentido de xiro das nosas hélices e espirais, aínda que se manteñen as denominacións habituais. Cada hélice determinada por un valor de u é destra, o que significa que avanza en sentido contrario ás agullas do reloxo. A súa imaxe é dextroxira, xa que a distancia á orixe aumenta no sentido das agullas do reloxo. Pero, nas imaxes tomadas cunha cámara compacta, as hélices destras dan lugar a espirais levoxiras.  

espirais dextroxiras

espirais levoxiras

Unha espiral logarítmica dextroxira está dada pola ecuación en coordenadas polares ρ= u e^-δθ ou polas ecuacións en coordenadas cartesianas
x = u e^-δθ cos θ
 y = - u e^-δθ sen θ. 

NOTA ADICIONAL: Como xa dixemos, a imaxe de calquera hélice circular –como a zanca da escaleira de Andrade– é unha espiral, pero non pode ser unha espiral logarítmica, xa que o seu grao varía. Danos igual obter a imaxe mediante unha cámara escura (usando a proxección π) ou mediante unha cámara compacta (usando un sistema de proxección cónica). A seguinte gráfica representa o valor do expoñente δ cando facemos variar a altura z entre 2ε = 8cm e 3000 cm. O tramo vermello corresponde ao intervalo comprendido entre unha altura mínima de 101,86 cm (que correspondería a un ángulo de visión de 60º) e máxima de 1640 cm, ás que corresponden expoñentes δ = 3,1388 e δ = 0,3666 respectivamente. Cando nos aproximamos ao punto de fuga, o expoñente tende a facerse constante, pero cada vez máis pequeno, de maneira que o aspecto da espiral aseméllase cada vez máis a unha espiral logarítmica, pero o seu grao tende a 0, polo que a espiral aseméllase en realidade a unha circunferencia, reducida a un punto no límite. 

Figura 3

Se nos mantemos na parte final do tramo vermello da figura 3, poderemos trazar porcións de espiral logarítmica que se axustan relativamente ben á imaxe da zanca, como ocorre coa espiral azul que contemplabamos antes. 

 

A harmonía e o caos

La pensée n'est qu'un éclair au milieu d'une longue nuit.

Mais c'est cet éclair qui est tout.
Henri Poincaré, La valeur de la Science

Henri Poincaré representa o pensamento maduro, prudente, dotado dunha intuición portentosa, fronte a unha imaxen da ciencia a medio camiño entre blitzkrieg e operette, viral ads e nerd nites. A súa obra marcou profundamente a física e a matemática do século XX e seguirá a facelo nos séculos vindeiros.

Hai pouco Alberto Verjovsky comentaba o moi distinto carácter de tres alumnos de Morris W. Hirsch. Ao oílo, tiven claro que, aínda que separados por un século, ese tímido alumno de aspecto lento e con grosos lentes era o verdadeiro herdeiro científico e moral de Henri Poincaré. O seu nome é William P. Thurston. Dixen «o verdadeiro herdeiro», deixándome levar por algúns lazos entre os dous, como a profunda intuición ou a vasteza da obra, que van máis aló do problema –hoxe teorema– que ligará os seus nomes por sempre. Pero a herdanza de Poincaré segue viva.

Un vello amigo dicíame non hai moito que só lle apetece reler e repensar os vellos traballos de Poincaré, unha sorte para os que –por desgracia, só de vez en cando– podemos desfrutalo. Poincaré é tamén o heroe de Alberto –ou debería dicir Escher, Douady, Riemann–. Por fortuna, nesta ocasión, non é unha voz, senón unha presenza clave no film Henri Poincaré, l’harmonie et le chaos, dirixido por Philippe Worms e producido por Vie Des Hauts Production, France Télévisions e CNRS Images, que reuniu a Nicolas Bergeron, Thierry Dauxois, Étienne Ghys, Tadashi Tokieda, Alberto Verjovsky e Cédric Villani para evocar a figura de Poincaré e a súa influencia no pensamento científico actual. Pero o que este documental ambiciona en realidade –e é esa a mellor homenaxe a Henri Poincaré– é ese «faire la part de l’harmonie et du chaos» que propón Étienne Ghys nunha secuencia. Dicía Poincaré que «a harmonía expresada polas leis matemáticas é a única realidade obxectiva, a única verdade que podemos alcanzar; […] a harmonía universal do mundo é a fonte de toda beleza». Pero pensemos que a harmonía perfecta –contemplen o mosaico de Kepler ou a árbore de Kenyon da cabeceira– é a miúdo o froito improbable do caos. 

Espero que os produtores se decidan a ofrecérmonos unha versión subtitulada en español ou inglés, pero valla como mostra unha pasaxe espléndida onde Étienne Ghys e Alberto Verjovsky nos explican a xeometría das árbores. Para os que desexen comprender mellor ese equilibrio entre harmonía e caos que nos deixa albiscar Étienne Ghys, nada mellor que contemplar o seu film Chaos.

Grazas a Dominique Garing (Vie de Hauts Production) por autorizar o subtitulado e a reprodución da pasaxe do documental Henri Poincaré, l’harmonie et le chaos e a Pablo González Sequeiros pola súa lectura.

Tout ce qui n’est pas pensée est le pur néant, puisque nous ne pouvons penser que la pensée et que tous les mots dont nous disposons pour parler des choses ne peuvent exprimer que des pensées ; dire qu’il y a autre chose que la pensée, c’est donc une affirmation qui ne peut avoir de sens. Et cependant — étrange contradiction pour ceux qui croient au temps — l’histoire géologique nous montre que la vie n’est qu’un court épisode entre deux éternités de mort, et que, dans cet épisode même, la pensée consciente n’a duré et ne durera qu’un moment. La pensée n’est qu’un éclair au milieu d’une longue nuit. Mais c’est cet éclair qui est tout. Henri Poincaré, La valeur de la science, Flammarion, 1905. Todo o que non é pensamento é pura nada, pois non podemos pensar máis que no pensamento e todas as palabras das que dispoñemos para falar das cousas non poden senón expresar pensamentos; dicir que hai outra cousa que o pensamento é unha afirmación sen sentido. E así e todo —curiosa contradición para os que cren no tempo— a historia xeolóxica móstranos que a vida non e máis que un curto episodio entre dúas eternidades de morte e que, nese mesmo episodio, o pensamento consciente non durou e non durará máis que un anaco. O pensamento non é máis que un lóstrego no medio dunha longa noite. Pero ese lóstrego éo todo. Henri Poincaré, La valeur de la science, Flammarion, 1905.

O facedor de círculos

O 22 de xaneiro de 2008 publicaba un pequeno artigo de homenaxe a dous creadores fascinados pola verdadeira beleza das matemáticas. Sirva hoxe de homenaxe renovado a Isaac Díaz Pardo e Rafael Dieste.

No verán de 1958, Rafael Dieste leva tempo «metido en gran navegación», asumida como «un deber con todo sello de la fatalidad, o una fatalidad digna de confianza, con toda la transparencia moral de esos deberes no codificados, venidos imperiosamente de allá dentro». A finais de 1956, publicara o Nuevo Tratado del Paralelismo na editorial Atlántida de Bos Aires, pero a fin da súa navegación aínda ficaba lonxe. Nos últimos días de xullo e nos primeiros de agosto, vanse cruzar no medio do océano as cartas que lle escribe ao seu amigo Isaac Díaz Pardo e as respostas deste. Nelas discuten a solución dalgúns problemas xeométricos. Velaí o deber «misterioso», de orixe «novelesca», que vai ocupar unha parte importante da vida do escritor ata a súa morte en 1981. Son escritos dun estilo alegre, cheos de humor e ambición, dun raro gusto pola matemática. Na primeira das cartas conservadas por Isaac, datada o día 31 de xullo, Dieste explica os argumentos precisos dunha proba proposta polo seu amigo. Lembra Isaac que o problema consistía en atopar o camiño máis curto para que o pastor A levara auga do río BD ao curro C. A solución de Isaac usa a semellanza dos triángulos AEB y CDE e dos triángulos BCD y BEF. A de Dieste, máis elegante, a reflexión respecto da recta BD. Na segunda das cartas, datada o día 8 de agosto, Dieste divírtese convertendo ao pastor nun testamenteiro que debe trazar triángulos da mesma extensión ao longo do río. Ao ler estas cartas comprendín que Isaac non constrúe pratos, senón círculos, coas súas fascinantes máquinas, hoxe en mans de «iñorantes e féridos e duros, imbéciles e escuros».