To fly where before we walked

Creo que ensinar a resolver problemas a nenos ou mozos non consiste en resolver os mesmos problemas unha e outra vez, dándolles corda para que cheguen onde queremos ou invocando unha pretendida ciencia infusa inexistente. Non hai moito asistía a unha charla sobre didáctica das matemáticas en educación infantil na que, a pesar de certo aire "problem-solving" á moda, se explicaba a reacción de nenos de catro ou cinco anos ao descubrir patróns numéricos por primeira vez. O xogo e o interese que mostraban os presentes na charla fixéronme recordar dúas frases de William Thurston:

Xeralmente os matemáticos pensan que saben o que son as matemáticas, pero resúltalles difícil dar unha boa definición directa. É interesante intentalo. Para min, "a teoría dos patróns formais" sería a máis aproximada. [1] En matemáticas, saber que é fascinante, desconcertante, interesante, sorprendente, aburrido, tedioso, emocionante é crucial; non é accidental, senón que conforma o noso xeito de pensar. [2]

Pero aínda que curiosamente ambos os dous textos están destinados a matemáticos profesionais, iso non significa que haxa que ter unha formación académica en matemáticas para compartir a visión de Thurston. A mellor profesora de matemáticas do meu fillo durante o seu paso por primaria non tiña formación en matemáticas, senón en historia.

Outro texto de Thurston, ben distinto –resposta a un mozo matemático que lle preguntaba no blog MathOverflow en que podería contribuír ao progreso das matemáticas– explica ese aparente paradoxo [3]:

Non son as matemáticas ao que tes que contribuír. É máis profundo que iso: como poderías contribuír á humanidade, ou máis ben ao benestar do mundo dedicándote ás matemáticas? Non é posible responder esa pregunta de xeito puramente intelectual porque as consecuencias das nosas accións van máis alá da nosa comprensión. Somos animais profundamente sociais e profundamente instintivos, polo que o noso benestar depende de moitas cousas que son difíciles de explicar de xeito intelectual. Por iso fas ben en seguir o teu corazón e a túa paixón. Usando só a razón é probable que te equivoques. Ningún de nós é o suficientemente intelixente e sabio para entendelo intelectualmente. As matemáticas achegan claridade e compresión. Non teoremas por si mesmos. Por exemplo, ¿hai algunha razón pola que mesmo resultados famosos como o último teorema de Fermat ou a conxectura de Poincaré importen realmente? A súa verdadeira importancia non reside nos seus enunciados concretos, senón no desafío que supoñen para o noso entendemento, propoñendo retos que conducen a desenvolvementos matemáticos que aumentan a nosa comprensión. O mundo non sofre de demasiada claridade e comprensión (por dicilo suavemente). Xeralmente é imposible saber se unhas matemáticas específicas poden mellorar o mundo (polo que sexa) e como poden facelo, pero as matemáticas son en conxunto extremadamente importantes. Creo que, pola súa dependencia da mente humana, hai unha gran compoñente psicolóxica nas matemáticas. Deshumanizadas, serían como programas de ordenador, algo moi diferente. Moitas veces, as ideas matemáticas, mesmo as máis simples, pasan dificilmente dunha mente a outra. Hai moitas ideas que poden ser difíciles de alcanzar, pero que resultan doadas unha vez que se logra. Por isto, a comprensión matemática non progresa sempre na mesma dirección. A nosa comprensión tamén se deteriora con frecuencia. Hai varias razóns evidentes desa decadencia. Os expertos nun tema xubílanse e morren, ou simplemente cambian de temas e esquécense. Habitualmente as matemáticas explícanse e rexístranse usando formas concretas e simbólicas que son máis doadas de comunicar que as formas conceptuais, que son doadas de entender unha vez comunicadas. A tradución do conceptual ao concreto e simbólico é moito máis doada que a tradución en sentido inverso, e as formas simbólicas a miúdo substitúen ás formas conceptuais de comprensión. Os textos antigos poden ser difíciles de entender a causa das convencións e do que se dá por sentado na evolución do coñecemento. En resumo, as matemáticas só existen nunha comunidade de matemáticos que divulgue o coñecemento e insufle vida a ideas antigas e novas. A verdadeira satisfacción que dan as matemáticas é aprender doutros e compartir con outros. Cada un de nós comprende con claridade unhas poucas cousas, pero ten unha visión confusa doutras moitas. Nunca nos faltarán ideas que necesiten ser aclaradas. A cuestión de quen foi o primeiro en deixar pegada nun metro cadrado de terreo é secundario. Os cambios revolucionarios son importantes, pero escasos, e non se producen sós: dependen moi moito da comunidade de matemáticos.

Quen di isto é un dos matemáticos máis importantes do século XX cunha obra que transformou a comprensión das variedades foliadas e das variedades tridimensionais e que lle valeu entre outros premios a Medalla Fields 1982. Así se definía a si mesmo no blog que citei antes [4]:

Son profesor en Cornell. Antes estiven en Princeton, Berkeley, MSRI e UC Davis. As matemáticas son un proceso onde hai que lograr a maior claridade mirando con suficiente atención e perseveranza a través dunha néboa de desorde e confusión. Alégrame poder admitir, polo menos ante min mesmo, que o meu pensamento é confuso e intentar superar a vergoña que podería causarme a miña propia ignorancia ou confusión. Cos anos, isto axudoume a desenvolver con claridade algunhas cousas, pero séguenme parecendo confusas outras moitas. Gozo coas preguntas que parecen honestas, aínda cando admitan ou revelen confusión, mellor que aquelas que parecen deseñadas para sofisticados proxectos

Tras a súa morte hai dous anos, o Departamento de Matemáticas de Cornell reuniu nunha páxina de homenaxe unha serie de textos –incluíndo extractos dos que acabo de citar– que nos recordan a William Thurston a través das súas propias palabras. Entresaco un que me parece igualmente revelador [5]:

Moitas persoas teñen a impresión de que as matemáticas son un asunto austero e formal relacionado con regras complicadas e finalmente confusas para a manipulación de números, símbolos e ecuacións, algo así como a preparación dunha complicada declaración da renda. As boas matemáticas difiren bastante disto. As matemáticas son unha arte da comprensión humana. [...] Os nosos cerebros son dispositivos complicados, con moitos módulos especializados traballando entre bastidores para darnos unha comprensión integral do mundo. Os conceptos matemáticos son abstractos, o que determina que haxa moitas maneiras diferentes de que se asenten nos nosos cerebros. Un concepto matemático podería ser unha ecuación simbólica, unha imaxe, un patrón rítmico, unha película curta ou, mellor aínda, a combinación nun todo de varias representacións diferentes.

Pero quizais quede cun texto que resume nunha frase a paixón de Thurston polas matemáticas [6]:

Os obxectivos estéticos e os obxectivos prácticos das matemáticas resultan estar, ao final, bastante preto. Os nosos instintos estéticos achégannos a matemáticas de certa profundidade que enganchan. A profundidade e a beleza dos patróns fainos propensos a manifestarse de xeito inesperado noutras partes das matemáticas, a ciencia e o mundo. Compartir a alegría e a experiencia intelectual das matemáticas -voar onde antes camiñabamos- é o obxectivo da educación matemática.

William Thurston (30 de outubro de 1946 - 21 de agosto de 2012)

[1] On proof and progress in mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 30 (1994), 161–177

[2] Prólogo do libro Teichmuller theory and applications to geometry, topology, and dynamics, Volume 1: Teichmuller theory, de John Hubbard)

[3] MathOverflow “MathOverflow “What's a mathematician to do?".

[4] MathOverflow "About me".

[5] Prólogo do libro Crocheting adventures with hyperbolic planes de Daina Taimina.

[6] Mathematical Education, Notices of the AMS, 37 (7) (1990), 844–850.